8.5 分布列与其他知识的综合运用（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8.5分布列与其他知识的综合运用（精讲）考点一利用均值做决策【例1】（2023·河南·校联考模拟预测）某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据：日销售量/十盒78910天数812164假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.(1)记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列和数学期望；(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？【答案】(1)分布列见解析，数学期望17.44(2)选择每两天进17十盒【解析】（1）日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次为：1321,,,510510，根据题意可得：X的所有可能取值为14，15，16，17，18，19，20，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】111(14)5525PX，133(15)251025PX，12331(16)25510104PX，32117(17)2210551025PX，312211(18)210105550PX，212(19)251025PX，111(20)1010100PX，所以X的分布列为：X14151617181920P1253251472511502251100所以1317112()14151617181925254255025EX12017.44100；（2）当每两天进16十盒时，利润为13(1410210)(1510110)252513161011562525，当每两天进17十盒时，利润为13(1410310)(1510210)2525291329(1610110)171011571002525100，157156，所以每两天进17十盒利润较大，故应该选择每两天进17十盒．【一隅三反】1．（2023·重庆·统考模拟预测）某地区由于农产品出现了滞销的情况，从而农民的收入减少，很多人开始在某直播平台销售农产品并取得了不错的销售量.有统计数据显示2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有34是“年轻人”.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，依据小概率值0.05的2独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？使用直播销售情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户不常使用直播销售用户合计(2)某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不是不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，15，15；方案二：线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为12，310，15.针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.参考数据：独立性检验临界值表0.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】其中22nadbcabcdacbd，nabcd．【答案】(1)列联表见解析，能(2)从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一，理由见解析【解析】（1）由图2知，样本中经常使用直播销售的用户有(30%19%11%)200120人，其中年轻人有3120904人，非年轻人30人，由图1知，样本中的年轻人有(45%35%)200160人，不常使用直播销售的用户有20012080人，其中年轻人有1609070人，非年轻人10人，补充完整的22列联表如下，年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户9030120不常使用直播销售用户701080合计16040200计算22200(90107030)4.68753.8411208016040，依据小概率值0.05的2独立性检验，能认为经常使用网络直播销售与年龄有关．（2）方案一：设获利X万元，则X的所有可能取值为300,150,0，31()300(150)01505551EX，222311()(300150)(150150)[phone]DX，方案二：设获利Y万元，则Y的所有可能取值为500,300,0，131()500(300)01602105EY，222131()(500160)(300160)(0160)1264002105DY，所以()(),()()EXEYDXDY，从获利的期望上看，方案二获得的利润更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一更稳定，所以，从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分.对而不全得2分，选项中有错误得0分.设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为(01)pp，有3个选项正确的概率为1p，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）.在一次模拟考试中：(1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得5分的概率为112，求p；(2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若512p，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？【答案】(1)14p(2)①【解析】（1）记一道多选题“有2个选项正确”为事件1A，“有3个选项正确”为事件2A，“小明该题得5分”为事件B，则1112311()C12PBPBAPAPBAp，求得14p.（2）若小明选择方案①，则小强的得分为2分.若小明选择方案②，记小强该题得分为X，则0,2,5X，且1121121133CC527117(0)CC12312336PXPAPA，12213C72147(2)C1233618PXPA，11113C515(5)C12336PXPA，所以，1714553()02536363636EX，若小明选择方案③，记小强该题得分为Y，则0,5Y，且211312122233CCC57229(0)CC1212336PYPAPA，22223C717(5)C12336PYPA，所以，29735()05363636EY,因为2EYEX，所以小明应选择方案①.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点二概率与函数导数的综合【例2】（2023·海南·海南中学校考模拟预测）根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为：X1230Papa1ap2(1)ap（其中0,01ap）每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为12，且相互独立，事件iA表示一个家庭有i个孩子(0,1,2,3)i，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.(1)若12p，求a，并根据全概率公式1()niiiPBPBAPA∣求PB；(2)是否存在p值，使得53EX，请说明理由.【答案】(1)415a，25PB(2)不存在，理由见解析【解析】（1）当12p时，0123,2,,42aaPAPAaPAaPA，则2142aaaa，解得415a.由题意，得233122311223331111C,C,CC2222PBAPBAPBA∣∣∣.由全概率公式，得2332232331111()CCC(1)2222niiiPBPBAPAaaapp∣1.242aaapp又14,215pa，所以25PB.（2）由21(1)1aaapapp，得21133ppap.假设存在p，使52313aEXaapp.将上述两式相乘，得2155535533ppppp，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】化简，得325620pp.设32562hppp，则21512354hppppp.由0hp，得405p，由0hp，得415p，则hp在40,5上单调递减，在4,15上单调递增，所以hp的最小值为4180525h，所以不存在0p使得00hp.即不存在p值，使得53EX.【一隅三反】1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年．某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：A区B区C区D区外来务工人数/x万3456就地过年人数/y万2.5344.5(1)请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程ˆˆˆyabx和A区的残差(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴．①若该市E区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额；②若A区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为,21pp，其中112p，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1400元，求p的取值范围．参考公式：相关系数1222211niiinniiiixynxyrxnxyny，回归方程ˆˆyabx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆˆˆ,niiiniixynxybaybxxnx．【答案】(1)答案见解析，0.70.35yx，0.05资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)①1750（万元）；②14,25【解析】（1）由题，34562.5344.54.5,3.544xy，4132.5435464.566.5iiixy，4222221345686iix，42222212.5344.551.5iiy，所以相关系数2266.544.53.53.50.9952.58644.551.543.5r