9.2 椭圆（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9.2椭圆（精讲）一．椭圆的定义1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．2.焦点：两个定点F1，F2.3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4.半焦距：焦距的一半．5.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.二．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e＝ca(0＜e＜1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2一.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则1.b≤|OP|≤a；2.a－c≤|PF|≤a＋c.二.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)中：(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.三．标准方程1.利用定义法求椭圆标准方程，要注意条件2a＞|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.2.椭圆的标准方程的两个应用①方程x2a2＋y2b2＝1与x2a2＋y2b2＝λ(λ＞0)有相同的离心率.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为x2a2＋k＋y2b2＋k＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便.四．椭圆离心率建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：1.直接求出a，c，利用离心率公式e＝ca求解．2.由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝1－b2a2求解．3.构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系式，从而求得e.五．弦长(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|(k≠0)．六．直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数问题；(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．考点一椭圆的定义及应用【例1-1】（2023春·江西·高三统考阶段练习）已知椭圆22122:1(1),,xCyaFFa为两个焦点，P为椭圆C上一点，若12PFF△的周长为4，则a（）A．2B．3C．32D．54【答案】D【解析】设椭圆C的焦距为2c，则221ca，12PFF△的周长为224ac，解得35,44ca，故选：D【例1-2】（2023·河南开封·统考三模）已知点P是椭圆221259xy上一点，椭圆的左、右焦点分别为1F、2F，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】且121cos3FPF，则12PFF△的面积为（）A．6B．12C．922D．22【答案】C【解析】由椭圆221259xy，得5a，3b，4c.设1PFm，2PFn，∴10mn，在12PFF△中，由余弦定理可得：2222121(2)2cos()223cmnmnFPFmnmnmn，可得8641003mn，得272mn，故122121127192sin122232FPFSmnFPF△.故选：C.【一隅三反】1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点A，B是椭圆22:194xyC上关于原点对称的两点，1F，2F分别是椭圆C的左、右焦点，若12AF，则1BF（）A．1B．2C．4D．5【答案】C【解析】因为12||||,||||OAOBOFOF,所以四边形12AFBF是平行四边形.所以12||||BFAF.由椭圆的定义得21||23||624AFAF.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以14BF.故选：C2．（2024秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）椭圆22:1(0)43xyEab的两焦点分别为12FF，，A是椭圆E上一点，当12FAF的面积取得最大值时，12FAF（）A．6B．2C．3D．23【答案】C【解析】431c，所以1222FFc，所以12122AAyFyFA，则当Ay最大时，12FAF面积最大，此时点A位于椭圆的上下端点，则11333FAO，因为10,2FAO，所以16FAO，所以123FAF.故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22196xy，12,FF为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，123cos5FPF，则||PO（）A．25B．302C．35D．352【答案】B资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由题意椭圆22196xy，12,FF为两个焦点，可得3,6,3abc，则1226PFPFa①，即221212236PFPFPFPF，由余弦定理得2222121212122cos(23)FFPFPFPFPFFPF，123cos5FPF，故212123()2(1)125PFPFPFPF，②联立①②，解得：22121215,212PFPFPFPF，而1212POPFPF，所以1212POPOPFPF，即22121122111153302212222252POPFPFPFPFPFPF，故选：B考点二椭圆的标准方程【例2】（2023秋·课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在y轴上，且经过两个点0,2和1,0；(2)经过点3,45P和点Q4,35.(3)两个焦点的坐标分别为4,0和4,0，且椭圆经过点5,0；(4)焦点在y轴上，且经过两个点0,2和1,0；(5)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点3,2M．【答案】(1)2214yx(2)22125yx(3)221259xy(4)2214yx资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(5)2211612yx【解析】（1）由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为222210yxabab，由于椭圆经过点0,2和1,0，∴22222240140111aabbab，故所求椭圆的标准方程为2214yx.（2）设椭圆方程为2210,0,mxnymnmn，则9116125116912525mmnnmn，∴椭圆方程为22125yx.（3）由题意知，椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为222210xyabab，易知222225400540010a，∴5a，又4c，∴2229bac，故所求椭圆的标准方程为221259xy；（4）∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为222210yxabab，∵椭圆经过点0,2和1,0，∴2222401011abab，解之得224,1ab，故所求椭圆的标准方程为2214yx；（5）根据题意可知2c，又焦点在y轴上，故焦点坐标为0,2,0,2，∵椭圆经过点3,2M，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴由椭圆的定义可得22222302230228a，即4a，∴22212bac，故椭圆的标准方程为2211612yx.【一隅三反】1．（2023秋·课时练习）若方程221259xymm表示椭圆，则实数m的取值范围是（）A．9,25B．9,88,25C．8,25D．8,【答案】B【解析】依题意，方程221259xymm表示椭圆，则25090925mmmm，解得98m或825m，即实数m的取值范围是9,88,25.故选：B2（2023秋·高二课时练习）以下方程表示椭圆的是（）A．2212525xyB．22232xyC．22231xyD．222202xynn【答案】C【解析】A选项，方程2212525xy，即2225xy，表示圆，不是椭圆，A选项错误.B选项，方程22232xy，即22123yx，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误.C选项，方程22231xy，即2211123xy，表示焦点在x轴上的椭圆，C选项正确.D选项，方程222202xynn右边不是1，不是椭圆，D选项错误.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C3．（2023秋·广东）已知(0,4)是椭圆2231kxky的一个焦点，则实数k（）A．6B．16C．24D．124【答案】D【解析】椭圆2231kxky化为：221131xykk，显然0k，有113kk，而椭圆的一个焦点为(0,4)，因此21143kk，所以124k.故选：D4．（2023秋·高二课时练习）F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos3OFA，则椭圆的标准方程为（）A．2213620xyB．22195xyC．222036xy1或2213620xyD．2295xy1或22159xy【答案】D【解析】当焦点在x轴上时，222cos3OFccOFAAFacb?===+，因为26a，所以3a，2c，所以222945bac，所以椭圆方程为22195xy；同理，当焦点在y轴上时，椭圆方程为22159xy.故选：D资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点三离心率【例3-1】（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知椭圆221104xytt的焦点在y轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（）A．55B．255C．12D．33【答案】B【解析】由题得4100tt，即710t，由焦距为4得4104tt，解得9t，可得椭圆方程为2215yx，所以1,5ba，2514c，所以离心率为22555.故选：B.【例3-2】（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知椭圆C的左右焦点分别为1F，2F，P，Q为C上两点，2223PFFQ，若12PFPF，则C的离心率为（）A．35B．45C．135D．175【答案】D【解析】设23PFm，则22QFm，123PFam，122QFam.5PQm在1PQF△中得：222232522ammam，即215ma.因此225PFa，185PFa，212FFc，在12PFF△中得：222