9.2 椭圆（精练）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9.2椭圆（精练）1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知离心率为53的椭圆C的方程为221(0)xymnmn，则mnmn（）A．2B．125C．135D．3【答案】C【解析】由题意，53cmneam，即59mnm-=，可得94mn，则9134954nnmnmnnn.故选：C2．（2022秋·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习）椭圆2222:1(0)xyabab的左、右焦点分别为12,FF，焦距为2c，若直线33yxc与椭圆的一个交点为M在x轴上方，满足122132FMFMFF，则该椭圆的离心率为（）A．31B．512C．51D．312【答案】A【解析】由直线33yxc可知：过定点1,0Fc，斜率33k，即1230MFF，则1221122132150FMFMFFFMFMFF，解得12219060FMFMFF，又因为122FFc，可得21,3MFcMFc，结合椭圆的定义可得1223MFMcFac，整理得23131cea.故选：A.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆2222:10xyCabab四个顶点构成的四边形的面积为162，直线:260lxy与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为2,2，则椭圆C的方程是（）A．221168xyB．221324xyC．2213216xyD．221642xy【答案】A【解析】设11,Axy，22,Bxy，则2211221xyab，2222221xyab，两式作差并化简整理得2121221212yyxxbxxayy，因为线段AB的中点为2,2，所以124xx，124yy，所以212212yybxxa，由12lk，得2212ba，又因为12221622abab，解得28b，216a，所以椭圆C的方程为221168xy．故选：A．4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆22221(0)xyabab的右焦点为F，上顶点为A，若存在直线l与椭圆交于不同两点,BC，ABC重心为F，直线l的斜率取值范围是（）A．0,2B．30,2C．0,1D．2,0【答案】B【解析】设椭圆22221xyab的半焦距为c，由已知,0Fc，0,Ab，设1122,,,BxyCxy，因为ABC重心为F，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以121203,30xxcyyb，所以12123,xxcyyb，又22112222222211xyabxyab，所以12121212220xxxxyyyyab，所以21212212120bxxyyayyxx，所以直线l的斜率2122222123332bxxbcbckayyabc，当且仅当bc时等号成立，又230bcka，所以直线l的斜率取值范围是30,2，故选：B.5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆222210xyabab的上顶点为B，斜率为32的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（）A．22B．33C．12D．63【答案】A资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设1122(,),(,)MxyNxy，MN的中点为00(,)Pxy，因为1122(,),(,)MxyNxy都在椭圆22221xyab上，所以22112222222211xyabxyab，作差可得1212121222()()()()0xxxxyyyyab，即012012222()2()0xxxyyyab，所以201220122()2()yyybxxxa，即22OPMNbkka，因为32MNk，所以2223OPbka，又因为F为△BMN的重心，所以3,(0,),(,0)2BPBFBbFc，所以003(,)(,)2xybcb，则003212xcyb，所以22122332OPbbkac，整理得22abc，即2220bcbc，所以bc，则222abcc，所以离心率22cea.故选:A.6．（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知椭圆22195xy，直线30ykxk与椭圆交于,AB两点，12,FF分别为椭圆的左､右两个焦点，直线2AF与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（）A．49B．59C．33D．39【答案】B【解析】直线30ykxk过原点，可设1122,,,AxyDxy，则11,Bxy，2221212122212121ADBDyyyyyykkxxxxxx；22112222195195xyxy，2222121295xxyy，2221222159yyxx，59ADBDkk.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B.7．（2023·全国·高二专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：221(0)1xyaaa的离心率为13，则椭圆C的蒙日圆的方程为（）A．2219xyB．2217xyC．2215xyD．2214xy【答案】B【解析】因为椭圆C：2211xyaa(0)a的离心率为13，则1131a，解得8a，即椭圆C的方程为22198xy+=，于是椭圆的上顶点(0,22)A，右顶点(3,0)B，经过,AB两点的椭圆切线方程分别为22y，3x，则两条切线的交点坐标为(3,22)，显然这两条切线互相垂直，因此点(3,22)在椭圆C的蒙日圆上，圆心为椭圆C的中心O，椭圆C的蒙日圆半径223(22)17r，所以椭圆C的蒙日圆方程为2217xy.故选：B8．（2023春·内蒙古赤峰）在椭圆22194xy上求一点M，使点M到直线2100xy的距离最大时，点M的坐标为（）A．3,0B．98,55C．252,5D．2,0【答案】B【解析】如下图所示：资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据题意可知，当点M在第三象限且椭圆在点M处的切线与直线2100xy平行时，点M到直线2100xy的距离取得最大值，可设切线方程为200xymm，联立22204936xymxy，消去x整理可得2225164360ymym，222161004360mm，因为0m，解得5m，所以，椭圆22194xy在点M处的切线方程为250xy，因此，点M到直线2100xy的距离的最大值为225103512,联立22250194xyxy，可得点M的坐标为98,55.故选：B.9．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）（多选）已知点F为椭圆C：22143xy的左焦点，点P为C上的任意一点，点A的坐标为1,3，则下列正确的是（）A．PAPF的最小值为13B．PAPF的最大值为7C．PFPA的最小值为13D．PFPA的最大值为1【答案】ABD【解析】依题意，2,3,1abc，所以1,0F，PAPF的最小值，即是AF的长，当点P在P位置时取到，所以PAPF的最小值为222313AF，故A正确；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设椭圆的右焦点为F，所以4PAPFPAPF，则当点P在P位置时取到最大值，所以PAPF的最大值为437，故B正确；PFPA的最小值当P在P位置时取到，即PFPA的最小值为13AF，故C错误；由44()PFPPFPAAAPFP，则当点P在P位置时取到最大值，所以PFPA的最大值为431，故D正确.故选:ABD10．（2023·广东·校联考模拟预测）（多选）已知椭圆22:11xyCmm的焦点在x轴上，且12,FF分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上一点，则下列结论正确的是（）A．112mB．C的离心率为1mC．存在m，使得1290FPFD．12FPF△面积的最大值为24【答案】ACD【解析】A选项，椭圆22:11xyCmm的焦点在x轴上，故10mm，解得112m，A正确；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B选项，设12,0,,0FcFc，则2121cmmm，故C的离心率为2112mmm，B错误；C选项，以12FF为直径的圆的方程为2221xym，与椭圆22:11xyCmm联立得，222111xmxmm，整理得221223mxmm，因为112m，所以22312mmxm，当213m时，230,120mm，故223012mmxm，满足要求，故存在m，使得1290FPF，C正确；D选项，因为12221FFm，故当P点位于上顶点或下顶点时，12FPF△面积取得最大值，故最大面积为221231121123124812FFmmmmmm，因为112m，所以当34m时，12FPF△面积取得最大值，最大值为24，D正确.故选：ACD11．（2023秋·贵州铜仁·高三贵州省思南中学校考阶段练习）（多选）已知方程22141xytt表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（）A．当14t时，曲线C是椭圆B．当4t或1t时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则512tD．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则4t【答案】BCD【解析】对于A，当52t时，3412tt，则曲线C是圆，A错误；对于B，当4t或1t时，(4)(1)0tt，曲线C是双曲线，B正确；对于C，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则410tt，解得512t，C正确；对于D，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则401tt，解得4t，D正确．故选：BCD12．（2023秋·课时练习）（多选）以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点0,2的椭圆的标准方程是（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．22154xyB．22134xyC．22164xyD．22194xy【答案】AB【解析】椭圆的焦点在x轴上，则1,2cb，得25a，此时椭圆方程是22154xy；若焦点在y轴上，则2,1ac，则23b，此时椭圆方程是22134xy．故选：AB13．（2023秋·重庆）（多选）已知圆2221:419Fxymm与圆2222:410Fxym的一个交点为M，动点M的轨迹是曲线C，则下列说法正确的是（）A．曲线C的方程式22110036xyB．曲线C的方程式221259xyC．过点1F且垂直于x轴的直线与曲线C相交所得弦长为185D．曲线C上的点到直线60xy的最短距离为3217【答案】BCD【解析】对A,B，由题意知,12,10MFmMFm,所以1212108MFMFFF,所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且210a,28c,即5,4ac,所以3b,所以曲线C的方程为221259xy,