9.3 双曲线（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9.3双曲线（精讲）一.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)若ac，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为两条射线；(3)若ac，则集合P为空集.二．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】性质图形焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±baxy＝±abxa，b，c关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)三.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2.四．直线与双曲线的位置关系和弦长1.判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．2.弦长公式设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2.一．求标准方程1.定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，即“先定型，再定量”2.待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn0)，再根据条件求解．3.常用设法：①与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y＝±bax，则双曲线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．二.求双曲线离心率或其取值范围的方法1.直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.2.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.3.双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由x2a2－y2b2＝0即得两渐近线方程xa±yb＝0.4.双曲线的渐近线的相关结论(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±bax(a＞0，b＞0)，即xa±yb＝0，则双曲线的方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.(3)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±bax的斜率k与离心率e的关系：e＝1＋ba2＝1＋k2.三.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中①当P为短轴端点时，θ最大.②S＝12|PF1||PF2|·sinθ＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.③焦点三角形的周长为2(a＋c).(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点一双曲线的定义及应用【例1-1】（2023·陕西渭南）如果双曲线221412xy上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是（）A．4B．12C．4或12D．不确定【答案】C【解析】设双曲线221412xy的左、右焦点为12,FF，则2,4124ac；则2||8PF，由双曲线定义可得12||||||24PFPFa，即1|||8|4PF，所以1||4PF或1||12PF，由于2ca，故点P到它的左焦点的距离是4或12，故选：C【例1-2】（2023·广东潮州）已知1F，2F分别为双曲线22154xy的左、右焦点，3,1P为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则2APAF的最小值为（）A．374B．374C．3725D．3725【答案】C【解析】因为2125APAFAPAF，所以要求2APAF的最小值，只需求1APAF的最小值.如图,连接1FP交双曲线的右支于点0A.当点A位于点0A处时，1APAF最小，最小值为22133137PF.故2APAF的最小值为3725.故选：C资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例1-3】（2023·江苏）设点P在双曲线221916xy上，12,FF为双曲线的两个焦点，且12:1:3PFPF，则12FPF△的周长等于，12cosFPF．【答案】22527【解析】在双曲线221916xy中，实半轴长3a，半焦距9165c，则12||210FFc，显然21||||||26PFPFa，又12:1:3PFPF，解得12||3,||9PFPF，所以12FPF△的周长等于1212||||||391022PFPFFF，21222222121212||||||391052||||23927cosPFPFFFPFFPFPF.故答案为：22；527【一隅三反】1．（2023·江苏）（多选）设12,FF分别是双曲线2219yx的左、右焦点，若点P在双曲线上，且15PF，则2PF（）A．5B．3C．7D．6【答案】BC【解析】由双曲线的定义可知122PFPFa，即252PF，所以23PF或27PF．故选：BC．2．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知F是双曲线221169xy的左焦点，4,4,AP是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为.【答案】817【解析】由题意知，4,3,5abc.设双曲线的右焦点为2F，由P是双曲线右支上的点，则228PFPFa，则2288PFPAPFPAAF，当且仅当2,,APF三点共线时，等号成立.又24,4,(5,0)AF，则222(45)(40)17AF.所以，PFPA的最小值为817.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：817.3．（2023·全国·课堂例题）P为双曲线22115yx右支上一点，M，N分别是圆2244xy和2241xy上的点，则PMPN的最大值为.【答案】5【解析】双曲线的两个焦点14,0F，24,0F分别为两圆的圆心，两圆的半径分别为12r，21r，易知1max2PMPF，2min1PNPF，故PMPN的最大值为1212213235PFPFPFPF.故答案为：5考点二双曲线的标准方程【例2-1】（2023秋·课时练习）已知点124,0,4,0FF，曲线上的动点P到12,FF的距离之差为6，则曲线方程为（）A．221097xyxB．22197xyC．221097yxyD．22197yx【答案】A资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由题意可得121268PFPFFF,由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且26,28ac,即3,4ac，所以2221697bca.又因为焦点在x轴上，所以曲线方程为221097xyx.故选:A.【例2-2】（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知等轴双曲线经过点3,2A，则的标准方程为（）A．22155xyB．22155yxC．221yxD．221xy【答案】A【解析】设双曲线的方程为22xy（0），代入点3,2A，得945，故所求双曲线的方程为225xy，其标准方程为22155xy．故选：A．【例2-3】（2023·江苏）下列选项中的曲线与2211224xy共焦点的双曲线是（）A．2222412xyB．222412yx1C．222610yx1D．221026xy1【答案】D【解析】双曲线2211224xy的焦点在x轴上，半焦距12246c，对于A，方程2222412xy，即2214824xy，是焦点在x轴上的双曲线，而半焦距为482462，A不是；对于B，C，方程2212412yx、2212610yx都是焦点在y轴上的双曲线，BC不是；对于D，方程2211026xy是焦点在x轴上的双曲线，半焦距为10266，D是.故选：D资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【一隅三反】（2023·江苏）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)4a，经过点13,410A；(2)与双曲线22164xy1有相同的焦点，且经过点32,2；(3)过点P3,154，Q1653,且焦点在坐标轴上．(4)两个焦点的坐标分别是5,0,5,0,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(5)焦点在x轴上，经过点4,2P和点26,22Q．(6)虚轴长为12，离心率为54；(7)焦点在x轴上，离心率为2，且过点5,3；(8)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±32x.(9)以直线230xy为渐近线，过点1,2；(10)与椭圆2212516xy有公共焦点，离心率为32.【答案】(1)221169yx．(2)221128xy(3)221916yx(4)221169xy(5)22184xy(6)2216436xy或2216436yx(7)2211616xy(8)22148194xy或22194yx(9)2213289yx(10)22145xy【解析】（1）由4a，当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为2221016xybb，把点A的坐标代入，得2161600159b，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为2221016yxbb，把点A的坐标代入，得29b．故所求双曲线的标准方程为221169yx．（2）法一：∵双曲线22164xy1的焦点在x轴上，∴设所求双曲线的标准方程为222210,0xyabab，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴216420c，即2220ab．①∵双曲线经过点32,2，∴221841ab．②由①②得22128ab，，故双曲线的标准方程为221128xy．法二：设所求双曲线的方程为221416164xy．∵双曲线过点32,2，∴1841164，解得4或14（舍去）．故双曲线的标准方程为221128xy．（3）设双曲线的方程为2210AxByAB．∵点,PQ在双曲线上，∴22591162562519ABAB，解得11619AB，故双曲线的标准方程为221916yx．（4）由已知得，5,28,ca即4a,∵222cab，∴2229bca.∵焦点在x轴上，