9.3 双曲线（精练）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9.3双曲线（精练）1（2023·四川成都·校联考二模）已知直线2yx是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线，且点(23,23)在双曲线C上，则双曲线C的方程为（）A．22134xyB．22136xyC．221612xyD．2211224xy【答案】C【解析】由双曲线2222:1xyCab，则其渐近线方程为byxa，由题意可得：2ba，整理可得2ba，将23,23代入双曲线方程可得：22121212aa，解得26a，212b，所以双曲线22:1612xyC.故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）已知F为双曲线：221416xy的左焦点，P为的右支上一点，则直线PF的斜率的取值范围为（）A．4,4B．3,3C．22,22D．2,2【答案】D【解析】由已知25,0F，设直线PF为25ykx，联立22251416ykxxy，消去y得2222(4)4520160kxkxk根据已知可得方程有一正根一负根，222222Δ454420160201604kkkkk，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得22k故选：D．3．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）设A，B为双曲线221816xy右支上的两点，若线段AB的中点为1,2M，则直线AB的方程是（）A．30xyB．230xyC．10xyD．230xy【答案】C【解析】设1122,,,AxyBxy，则有2211222218161816xyxy，两式相减，得12121212816xxxxyyyx，因为线段AB的中点为1,2M，所以12122,4xxyy，因此由1212121212121816xxxxyyyxyxxx，即直线AB的斜率为1，方程为2110yxxy，代入双曲线方程中，得24140yy，因为2441140，所以线段AB存在，故选：C4．（2023·全国·专题练习）已知双曲线2222:1,0xyCabab与直线2yx相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（）A．3yxB．3yxC．13yxD．33yx【答案】A【解析】设11,Axy，22,Bxy，则22112222222211xyabxyab，由点差法得1212121212220xxxxyyyyxxab．∵1,3M，∴222xx，126yy，∴122212620yyabxx，又12121AByykxx，∴223ba，∴渐近线方程为3byxxa.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A．5．（2023秋·浙江宁波）过双曲线2222:1(0,0)yxCabab内一点1,1M且斜率为12的直线交双曲线于,AB两点，弦AB恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（）A．62B．52C．3D．5【答案】C【解析】由题意可得12122,2xxyy，且121212yyxx，又因为22112222222211yxabyxab，所以121212212211()()()()0yyyyxxxxab，即有12122222()()yyxxab，所以221221222122yyabxxba，所以222ba，所以22223cbaa，所以2223cea，所以3e.故选：C.6．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知双曲线C：222210,0xyabab的渐近线方程为2yx，左、右焦点分别为1F，2F，过点2F且斜率为3的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若1△MNF的周长为36，则双曲线C的方程为（）A．22136xyB．221510xyC．22148xyD．2212yx【答案】D【解析】因为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的渐近线方程为2yx，所以2ba，则双曲线方程为22221(0)2xyaaa，1(3,0)Fa，2(3,0)Fa，所以直线l为3(3)yxa，设1122(,),(,)MxyNxy，由2222123(3)xyaayxa，得2263110xaxa，则2121263,11xxaxxa，所以2121213()4MNxxxx2221084416aaa，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为122MFMFa，122NFNFa，所以11224420MFNFMFNFaMNaa，因为1△MNF的周长为36，所以1136MFNFMN，所以201636aa，得1a，所以双曲线方程为2212yx，故选：D7．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知双曲线C：2219yx，若双曲线C的一条弦的中点为1,4，则这条弦所在直线的斜率为（）A．94B．1C．1D．94【答案】D【解析】设该弦为AB，设1122,,,AxyBxy，则有221122221919yxyx，两式相减，得121212129yyyxxxxx，因为双曲线C的一条弦的中点为1,4，所以12122,8xxyy，因此由121212121212994yyyxyxxxxxxx，即这条弦所在直线的斜率为94，方程为99741444yxyx，代入双曲线方程中，得2631261930xx，因为21264631930，所以该弦存在，故选：D8．（2023春·河北廊坊）（多选）已知双曲线22:125144yxE，则（）A．双曲线E的实轴长为24B．双曲线E的焦距为26C．双曲线E的渐近线的斜率为125D．双曲线E的渐近线的斜率为512【答案】BD资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设双曲线E的焦距为2c，因为225a，2144b，所以2514413c，所以双曲线E的实轴长210a，焦距226c，故A错误，B正确；渐近线的斜率为512ab，故C错误，D正确．故选：BD9．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）（多选）在平面直角坐标系中，已知(2,0)F，过点F可作直线l与曲线C交于M，N两点，使||2MN，则曲线C可以是（）A．28yxB．22162xyC．2213xyD．2213yx【答案】BCD【解析】由题意，根据选项可得，点F恰为四个曲线的焦点，A中，抛物线28yx焦点弦弦长最小值为28p，故不存在弦长2MN，所以A不正确；B中，椭圆22162xy中，根据椭圆的性质，可得焦点弦弦长取值范围为222b,aa，即26,263，而262,263，所以B正确；C中，若,MN同在右支上，则焦点弦弦长取值范围为22,ba，即23,3，因为232,3，所以C正确；D中，若,MN在异支上，则焦点弦弦长取值范围为2,a，即2,，因为22,，所以D正确.故选：BCD.10（2023春·湖北）（多选）过双曲线22:145xyC-=的右焦点作直线l与该双曲线交于A、B两点，则（）A．存在四条直线l，使9||2ABB．与该双曲线有相同渐近线且过点(8,10)的双曲线的标准方程为2212016yx资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．若A、B都在该双曲线的右支上，则直线l斜率的取值范围是55,,22D．存在直线l，使弦AB的中点为(4,1)M【答案】BC【解析】对于A，由于22:145xyC-=，所以右焦点为3,0，设直线l方程为：3xmy.联立221453xyxmy得：225430250mymy，0恒成立.所以11,Axy，22,Bxy，则1223054myym，1222554yym.所以22222121222220130251414545454mmABmyyyymmmm.所以222019542mm，解得2765m，所以只有两条，故A错误；对于B，双曲线22:145xyC-=的渐近线为52yx，所以52ba，过点(8,10)的双曲线的标准方程为2212016yx，故B正确；对于C，若A、B都在该双曲线的右支上，则12225054yym，即2540m，所以2540k，解得55,,22k.故C正确；对于D，假设存在直线l，使弦AB的中点为(4,1)M，设直线的方程为14ykx，与22:145xyC-=联立得：2222543286432240kxkkxkk，0恒成立.所以2122832854kkxxk，2121222832104041418225454kkkyykxkxkkkk所以5k，所以直线方程为154yx，但是由于3,0不在直线上，故不存在这样的直线l，故D错误.故选：BC.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10．（2022秋·山东青岛）（多选）已知双曲线22:14xCy，点A，B在C上，AB的中点为1,1，则（）A．C的渐近线方程为2yxB．C的右焦点为2,0C．C与圆221xy没有交点D．直线AB的方程为430xy【答案】CD【解析】对于AB，由双曲线22:14xCy可得2224,1,5abc，所以渐近线方程为12byxxa，右焦点为5,0，故AB不正确；对于C，联立2222141xyxy消y可得285x，代入221xy，解得y无实数根，所以C与圆221xy没有交点，故正确；对于D，设1122(,),(,)AxyBxy，则221114xy，222214xy，两式相减，得12121212()()()()04xxxxyyyy，因为AB的中点为(1,1)，所以等式可得12122()2()04xxyy，易得直线AB的斜率存在，故可得121214ABkyyxx，则直线为1114yx即430xy，联立双曲线C的方程和直线430xy，消去x，可得2122450yy，此时57645120，则直线与双曲线有两个交点，符合题意，故直线l的方程为430xy，故正确.故选：CD11．（2023秋·山西忻州·高三校联考开学考试）已知双曲线E：222210,0xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，点M在双曲线E上，12FMF△为直角三角形，O为坐标原点，作1ONMF，垂足为N，若123MNNF，则双曲线E的离心率为.【答案】512【解析】依题意，12FMF△为直角三角形，显然1290MFF，否则N与1F重合，若1290FMF，由1ONMF，得2//ONMF，则N为1MF的中点，与123MNNF矛盾，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】于是2190MFF，即2MFx轴，令双曲线半焦距为c，由22221xcxyab，得422bya，因此22b