9.4 抛物线（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9.4抛物线（精讲）一．抛物线的概念(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点．(3)准线：直线l叫做抛物线的准线．2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下一．抛物线的定义及标准方程1.由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可相互转化．2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．二．与抛物线有关的最值问题1.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．2.将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．三．常用的结论1．与焦点弦有关的常用结论如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px(p0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有(1)x1·x2＝p24.(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α是直线AB的倾斜角).(4)1|AF|＋1|BF|＝2p为定值(F是抛物线的焦点).资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（5）以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切．（6）．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB过定点(2p，0)．考点一抛物线的定义及标准方程【例1-1】（2023秋·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，点M在C上．若M到直线=1x的距离为3，则MF（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】如下图所示：根据题意可得抛物线的准线方程为2x，若M到直线=1x的距离为23MM，则M到抛物线的准线2x的距离为14MM，利用抛物线定义可知14MFMM.故选：A【例1-2】（2023·新疆·统考三模）已知抛物线22(0)ypxp上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．2yxB．22yxC．24yxD．28yx【答案】C【解析】由题意抛物线22(0)ypxp上任意一点到焦点F的距离与它到直线=1x的距离相，因此12p，2p，抛物线方程为24yx．故选：C．【一隅三反】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023秋·福建福州·高三统考开学考试）已知点0,2Px在抛物线C：24yx上，则P到C的准线的距离为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】抛物线24yx的准线为=1x，将0,2Px代入24yx得01x，故P到准线的距离为2，故选：C．2．（2023秋·山东青岛·高三统考开学考试）设抛物线C：22xpy的焦点为F，,4Mx在C上，5MF，则C的方程为（）A．24xyB．24xyC．22xyD．22xy【答案】A【解析】抛物线22xpy的开口向上，由于,4Mx在C上，且5MF，根据抛物线的定义可知45,22pp，所以抛物线C的方程为24xy.故选：A3．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知点2,0F是抛物线C：220ypxp的焦点，点M在抛物线C上，点0,4P，且90MPF，则点M到y轴的距离为（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】因为点2,0F是抛物线C：220ypxp的焦点，所以4p，28yx．又因为90MPF，所以0PMPF，设200,8yMy，则220000,42,404484yyyy008y，所以08x，故点M到y轴的距离为8．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B考点二抛物线有关的最值问题【例2-1】（2023·四川成都·校联考二模）已知点(0,4)F是抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点，点(2,3)P，且点M为抛物线C上任意一点，则||||MFMP的最小值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】因为点(0,4)F是抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点，所以42p，解得8p，所以抛物线C的方程为：216xy．由抛物线的定义知：点M到点(0,4)F的距离等于点M到准线4y的距离，结合点(2,3)P与抛物线C的位置关系可知，||||MFMP的最小值是点(2,3)P到准线4y的距离，故||||MFMP的最小值为7．故选：C.【例2-2】（2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）抛物线C的顶点为原点，焦点为(2,0)F，则点(5,0)B到抛物线C上动点M的距离最小值为（）A．32B．26C．5D．52【答案】B【解析】抛物线C的焦点为(2,0)F，所以抛物线C的方程为22ypx，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】且2,282pp，所以抛物线C的方程为28yx，设2,,R8tMtt，则22242115258644tMBttt，所以当2148,221264tt时，MB取得最小值为116482526644.故选：B【一隅三反】1．（2023·全国·专题练习）已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，点P在C上，若点6,3Q，则PQF△周长的最小值为（）．A．13B．12C．10D．8【答案】A【解析】224yx，故2,0F,记抛物线C的准线为l，则l：2x，记点P到l的距离为d，点6,3Q到l的距离为d，则22623058513PQPFQFPQdd.故选：A.2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知抛物线2:4Exy，圆22:31Cxy，P为E上一点，Q为C上一点，则PQ的最小值为（）A．2B．221C．22D．3资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B【解析】由题意知(0,3)C,设00,Pxy，则2222200000004,||32918xyPCxyyyy,所以当01y时,min||22PC，又因为圆C的半径为1，所以min||221PQ.故选：B.3．（2023春·四川南充）已知P是抛物线24yx上的一个动点，则点P到直线1:34120lxy和2:20lx的距离之和的最小值是（）A．3B．4C．225D．6【答案】B【解析】由2434120yxxy消去x得2161603yy，因为24161630，所以方程2161603yy无解，即直线1:34120lxy与抛物线无交点；过点P作1PMl于点M，PNl于点N，记抛物线24yx的焦点为1,0F，连接PF，因为2:20lx点P到直线2:20lx的距离为1PN,:10lx为抛物线24yx的准线，根据抛物的定义可得，PNPF，则P到直线1l和2l的距离之和为11PNPMPFPM，若M，P，F三点不共线，则有PFPMFM，当M，P，F三点共线，且P位于MF之间时，PFPMFM，则PFPMFM，又223012334FM，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以1314PNPMPFPM，即所求距离和的最小值为4.故选：B.4．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知F为抛物线2:4Cyx的焦点，直线:(1)lykx与C交于A，B两点，则4||||AFBF的最小值是（）A．10B．9C．8D．5【答案】B【解析】设11,Axy，22,Bxy，联立2(1)4ykxyx得2222220kxkxk，则121xx.所以1212124||||414524591AFBFxxxxxx.当且仅当124xx，即112x，22x时，上式取等号，故min(4||||)9AFBF.故选：B考点三直线与抛物线的位置关系【例3-1】（2023秋·课时练习）（多选）已知直线l过定点0,1P，则与抛物线22yx有且只有一个公共点的直线l的方程为（）A．1yB．220xy-+=C．0xD．12x【答案】ABC【解析】（1）当过点0,1P的直线l的斜率存在时，设其方程为1ykx，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由方程组221yxykx消去y得222210kxkx，①若0k，则210x，解得12x，此时直线与抛物线只有一个交点，直线l的方程为1y，A正确；②若0k，令222240kk，解得12k，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，直线l的方程为112yx，即220xy-+=，B正确.（2）当过点0,1P的直线l的斜率不存在时，方程为0x，与抛物线相切，只有一个交点，C正确．综上，直线l的方程为1y，220xy-+=或0x.故选：ABC.【一隅三反】1．（2023秋·课时练习）已知直线l与抛物线220xpyp只有一个公共点，则直线l与抛物线的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【答案】D【解析】直线l与抛物线的对称轴平行或l与抛物线相切时有一个公共点，所以D选项正确.故选：D2．（2023秋·课时练习）（多选）设抛物线28yx的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（）A．2-B．-1C．1D．2【答案】BC【解析】抛物线28yx的准线与x轴交于点Q，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】准线为2x-，Q点的坐标2,0，又直线l过点Q，且斜率必存在，可设l：2ykx，联立228ykxyx，可得22224240kxkxk，当0k时，得0x，即交点为0,0，当0k时，由0得，即224162160kk，解得，10k或01k，综上，k的取值范围是1,1．故选：BC.3．（2023秋课时练习）过点0,1与抛物线2yx只有一个公共点的直线有条．【答案】3【解析】①当斜率不存在时，过点0,1的直线为y轴，显然符合题意．②当斜率存在时，设直线方程为1ykx．联立2yx得222110kxkx，当0k时，解得1x，此时方程有唯一实数解，符合题意；当0k时，由222140kk解得14k，此时方程有唯一实数解，符合题意．综上共有3条直线．故答案为：34．（2023秋云南）已知抛物线方程为28yx，若过点(20),O的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】1,1【解析】依题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为2ykx，由228ykxyx消去y并化简得22224840kxkxk①，当0k时，①可化为0x，此时0y，即直线l与抛物线相交于0,0.当0k时，由于①有解，所以2242481664640kkk，即21110kkk，解得11k且0k.综上所述，直线l的斜