9.5 三定问题及最值（精讲）（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9.5三定问题及最值（精讲）一．定点1.参数法解决定点问题的思路:①引入动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,即确定题目中的核心变量(此处设为k);②利用条件找到k与过定点的曲线F(x,y)=0之间的关系,得到关于k与x,y的等式,再研究变化量与参数何时没有关系,找到定点.其理论依据是:直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);直线方程的斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m).2.特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.二．定值1.从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；2.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.三．定直线：是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题1.设点法:设点的轨迹,通过已知点轨迹,消去参数,从而得到轨迹方程;2.待定系数法:设出含参数的直线方程,利用待定系数法求解出系数;3.验证法:通过特殊点位置求出直线方程,对一般位置再进行验证.四．最值解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.2.利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.3.利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.4.利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.5.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.考点一定点【例1-1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆2212:11xCyaa与椭圆2222:102312xyCbb的离心率相同，且椭圆2C的焦距是椭圆1C的焦距的3倍．(1)求实数a和b的值；(2)若梯形ABCD的顶点都在椭圆1C上，//ABCD，2CDAB，直线BC与直线AD相交于点P．且点P在椭圆2C上，证明直线CD恒过定点．【答案】(1)2a，3b(2)证明见解析【解析】（1）由椭圆1C方程可得其焦距为221a，离心率为21aa；由椭圆2C可得其焦距为2212b，离心率为21223b；由题意知：222221223111223baaba，解得：22112ab（舍）或2243ab，2a，3b.（2）设11,Cxy，22,Dxy，00,Pxy，则22001123xy，//ABCDQ，2CDAB，,AB分别为,PDPC的中点，1010,22xxyyB，2020,22xxyyA，2211210210142142xyxxyy，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】22010100284120xxxyyy，22001123xy，2200412xy，1010280xxyy，即101040xxyy，同理可得：202040xxyy，直线CD的方程为0040xxyy，直线CD恒过定点0,0.【例1-2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知椭圆2222:10xyEabab的离心率是22，上、下顶点分别为A，B.圆22:2Oxy与x轴正半轴的交点为P，且1PAPB.(1)求E的方程；(2)直线l与圆O相切且与E相交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆恒过定点.【答案】(1)22163xy(2)证明见解析【解析】（1）由已知得0,Ab，0,Bb，2,0P.则2,PAb，2,PBb，221PAPBb，所以23b.因为22cea，又222bca，所以23c，26a.故E的方程为22163xy.（2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为ykxm，即0kxym.因为直线l与圆O相切，所以221mk，即2222mk.设11,Mxy，22,Nxy，则11ykxm，22ykxm.由22,1,63ykxmxy化简，得222214260kxkmxm，由韦达定理，得12221224212621kmxxkmxxk，，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以2212121212yykxmkxmkxxkmxxm222222222646212121mkmmkkkmmkkk，所以2222212122223222660212121mkmmkxxyykkk，故OMON，即以MN为直径的圆过原点O.当直线l的斜率不存在时，l的方程为2x或2x.这时2,2M，2,2N或2,2M，2,2N.显然，以MN为直径的圆也过原点O.综上，以MN为直径的圆恒过原点O.【一隅三反】1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，A，B分别是C的右、上顶点，且7AB，D是C上一点，2BFD△周长的最大值为8.(1)求C的方程；(2)C的弦DE过1F，直线AE，AD分别交直线4x于M，N两点，P是线段MN的中点，证明：以PD为直径的圆过定点.【答案】(1)22143xy；(2)证明见解析.【解析】（1）依题意，227ab，2BFD△周长211234DBDFaDBaDFaBFaa，当且仅当1,,BFD三点共线时等号成立，故48a，所以224,3ab，所以C的方程22143xy；（2）设1122,,,DxyExy，直线:1DExmy，代入22143xy，整理得2234690mymy，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】223636340mm，12122269,3434myyyymm，易知11:22yADyxx，令4x，得1164,2yNx，同得2264,2yMx，从而中点12124,322yyPxx，以PD为直径的圆为12111243022yyxxxyyyxx，由对称性可知，定点必在x轴上，令0y得，12111243022yyxxxyxx，1212121221212121223223339myyyyyyyyxxmymymyymyy22222218183634343691893434mmmmmmmmmm，所以11430xxxmy，即21114430xxxxmy，因为111xmy，所以211540xmyxmy，即1140xxmy，解得=1x，所以圆过定点1,0.2．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知圆E：22116xy，点1,0F，G是圆E上任意一点，线段GF的垂直平分线和半径GE相交于H(1)求动点H的轨迹的方程；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)经过点F和7,0T的圆与直线l：4x交于P，Q，已知点2,0A，且AP、AQ分别与交于M、N.试探究直线MN是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.【答案】(1)22143xy(2)经过定点，定点坐标为1,0【解析】（1）如图所示，∵4HEHFHEHG，且24EF，∴点H的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，设椭圆方程22221xyab，则24a，1c，∴2a，223bac.所以点H的轨迹方程为：22143xy.（2）设直线MN的方程为：xmyn，由22143xyxmyn，得2223463120mymnyn设11,Mxy，22,Nxy，则122634mnyym，212231234nyym.所以，121228234nxxmyynm，221212212434mnxxmynmynm因为直线MA的方程为：1122yyxx，令4x，得1122Pyyx，所以，1124,2yPx，同理可得2224,2yQx，以PQ为直径的圆的方程为：21212224022yyxyyxx，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即22112122212222402222yyyyxyyxxxx，因为圆过点7,0，所以，1212229022yyxx，得12121249024yyxxxx，代入得222222124834901241643434nmmnnmm，化简得，222124890416160,241616nnnnnn，解得1n或2n（舍去），所以直线MN经过定点1,0，当直线MN的斜率为0时，此时直线MN与x轴重合，直线MN经过点1,0，综上所述，直线MN经过定点1,0.考点二定值【例2】（2023·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆22122:1xyCab(0ab)的左右焦点分别为1F，2F，点A为1C上的一个动点(非左右顶点)，连接1AF并延长交1C于点B，且2ABF△的周长为8，12AFF△面积的最大值为2．(1)求椭圆1C的标准方程；(2)若椭圆2C的长轴端点为12,FF，且2C与1C的离心率相等，P为AB与2C异于1F的交点，直线2PF交1C于,MN两点，证明：||||ABMN为定值．【答案】(1)22142xy(2)证明见解析【解析】（1）2ABF的周长为8，由椭圆的定义得48a，即2a，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又12AFF△面积的最大值为2，1222cb，即2bc，222abc，224bc，2224bb，解得2b，椭圆1C的标准方程为22142xy.（2）由（1）可知12,0F，22,0F，椭圆1C的离心率22cea，设椭圆2C的方程为22221xyab，则有2a，22222222cabaa，解得1b，椭圆2C的标准方程为2212xy，设00(,)Pxy，11(,)Axy，22(,)Bxy，点P在曲线2C上，220022xy，依题意，可设直线AB，MN的斜率分别为12,kk，则,ABMN的方程分别为12ykx，12ykx，于是220000122200001(2)1222222xyyykkxxxx，联立方程组122(2)142ykxxy，消去y整理，得2222111(21)42440kxkxk，2112214221kxxk，2112214421kxxk，2222222111112121222111424444||1()414212121kkkABkxxxxkkkk，同理可得：222244||21kMNk，2112kk，22212122221114424482||21211212kkkMNkkk，221122114482||||62121kkABMNkk为定值.资料整理【淘宝店铺：向阳百