题型02 函数的4大基本性质解题技巧（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（原卷版）

题型02函数的4大基本性质解题技巧（单调性、奇偶性、周期性、对称性）技法01函数单调性的应用及解题技巧知识迁移1.同一定义域内①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘③)(xf为↗，则)(xf为↘，)(1xf为↘④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）2.复合函数的单调性结论：同增异减复合函数，，外函数内函数复合函数，，外函数内函数复合函数，，外函数内函数复合函数，，外函数内函数叫做外函数，叫做内函数，则设函数uhxfxguxghxf,,技法01函数单调性的应用及解题技巧技法02函数奇偶性的应用及解题技巧技法03函数周期性的应用及解题技巧技法04函数对称性的应用及解题技巧在考查函数单调性时，如果能掌握同一定义域内，单调性的运算，可以快速判断函数的单调性；同时复合函数单调性的相关计算也是高考重点，常以小题形式考查.例1．（2020·全国·统考高考真题）设函数331()fxxx,则()fx（）A．是奇函数，且在，0单调递增B．是奇函数，且在，0单调递减C．是偶函数，且在，0单调递增D．是偶函数，且在，0单调递减3xxh在定义域内，0是增函数，31xxg在定义域内，0是减函数，所以331()fxxx在，0单调递增【答案】A1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数2121xfx，则（）A．fx是偶函数且是增函数B．fx是偶函数且是减函数C．fx是奇函数且是增函数D．fx是奇函数且是减函数2．（2021·内蒙古包头·统考一模）设函数ln31ln31fxxx，则fx（）A．是偶函数，且在1,3单调递增B．是奇函数，且在11,33单调递减C．是偶函数，且在1,3单调递增D．是奇函数，且在1,3单调递减3．（2023·全国·模拟预测）函数213log6fxxx的单调递减区间为（）A．12,2B．1,2C．1,2D．1,32技法02函数奇偶性的应用及解题技巧知识迁移①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）②奇偶性的定义：奇函数：)(xfxf，图象关于原点对称，偶函数：xfxf，图象关于y轴对称③奇偶性的运算例2．（2023·全国·统考高考真题）若2π1sin2fxxaxx为偶函数，则a．由题知222π1sin1cos21cos2fxxaxxxaxxxaxx为偶函数，定义域为R，【法一】奇偶性的运算221cosfxxaxx只需02a即可【法二】寻找必要条件（特值法）所以ππ22ff，即22ππππππ222222s1co1cosaa，纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则可提升解题速度，做到快速求解.则22πππ2π1212a，故2a1．（2023·全国·统考高考真题）若21ln21xfxxax为偶函数，则a（）．A．1B．0C．12D．12．（2023·全国·统考高考真题）已知e()e1xaxxfx是偶函数，则a（）A．2B．1C．1D．23．（2021·全国·高考真题）设fx是定义域为R的奇函数，且1fxfx.若1133f，则53f（）A．53B．13C．13D．534．（2020·山东·统考高考真题）若定义在R的奇函数f(x)在(,0)单调递减，且f(2)=0，则满足(10)xfx的x的取值范围是（）A．[)1,1][3,B．3,1][,[01]C．[1,0][1,)D．[1,0][1,3]5．（2022·全国·统考高考真题）若1ln1fxabx是奇函数，则a，b．技法03函数周期性的应用及解题技巧知识迁移①若xfaxf，则xf的周期为：aT②若bxfaxf，则xf的周期为：baT③若xfaxf，则xf的周期为：aT2（周期扩倍问题）④若xfaxf1，则xf的周期为：aT2（周期扩倍问题）例3．（全国·高考真题）已知()fx是定义域为(,)的奇函数,满足(1)(1)fxfx.若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffffA．50B．0C．2D．50因为()fx是定义域为(,)的奇函数，所以11xfxf，即11xfxf，所以周期为4【答案】C1．（2023上·海南省·高三校联考）已知函数fx是定义在R上的奇函数，且13f，51fxfx，则20242023ff（）A．3B．0C．3D．62．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()fx的定义域为R，且()()()(),(1)1fxyfxyfxfyf，则221()kfk（）A．3B．2C．0D．1纵观历年考题，函数周期性是函数及高考的重要考点，要熟悉周期性的定义，若能熟悉周期性的运算，则可提升解题速度，做到快速求解.技法04函数对称性的应用及解题技巧知识迁移轴对称①若xfaxf，则xf的对称轴为2ax②若bxfaxf，则xf的对称轴为2bax点对称①若xfaxf，则xf的对称中心为0,2a②若cbxfaxf，则xf的对称中心为2,2cba例4-1．（全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数lnyx的图像关于直线1x对称的是A．ln(1)yxB．ln(2)yxC．ln(1)yxD．ln(2)yx【法一】函数ylnx过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有yln2x过此点．故选项B正确【法二】关于x=1对称即xfxf11，即xfxf2【答案】B纵观历年考题，函数对称性是函数及高考的重要考点，要熟悉对称性的定义，若能熟悉对称性的运算，则可提升解题速度，做到快速求解.例4-2．（2016·全国·高考真题）已知函数()()fxxR满足()2()fxfx，若函数1xyx与()yfx图像的交点为1122(,),(,),,(,),mmxyxyxy则1()miiixyA．0B．mC．2mD．4m【详解】[方法一]：直接法.由-2fxfx得fx关于01，对称，而111xyxx也关于01，对称，∴对于每一组对称点'0iixx'=2iiyy，∴111022mmmiiiiiiimxyxym，故选B．[方法二]：特值法.由-2fxfx得-+2fxfx不妨设因为1fxx，与函数111xyxx的交点为1,2,1,0∴当2m时，11222xyxym，故选B．[方法三]：构造法.设1sxfx，则11sxfxfxsx，故sx为奇函数.设11txyx，则txtx，故tx为奇函数.∴对于每一组对称点'0iixx'=0iist.将1iisy，''1iity代入，即得'0iixx'=2iiyy∴111022mmmiiiiiiimxyxym，故选B．[方法四]：由题意得,函数()()fxxR和()2()fxfx的图象都关于(0,1)对称,所以两函数的交点也关于(0,1)对称,对于每一组对称点(,)iixy和''(,)iixy，都有''0,2iiiixxyy.从而1()22miiimxym.故选B.【答案】B例4-3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数(),()fxgx的定义域均为R，且()(2)5,()(4)7fxgxgxfx．若()ygx的图像关于直线2x对称，(2)4g，则221kfk（）A．21B．22C．23D．24因为()ygx的图像关于直线2x对称，所以22gxgx，因为()(4)7gxfx，所以(2)(2)7gxfx，即(2)7(2)gxfx，因为()(2)5fxgx，所以()(2)5fxgx，代入得()7(2)5fxfx，即()(2)2fxfx，所以35212510fff，46222510fff.因为()(2)5fxgx，所以(0)(2)5fg，即01f，所以(2)203ff.因为()(4)7gxfx，所以(4)()7gxfx，又因为()(2)5fxgx，联立得，2412gxgx，所以()ygx的图像关于点3,6中心对称，因为函数()gx的定义域为R，所以36g因为()(2)5fxgx，所以1531fg.所以221123521462213101024()kfffffffffk.【答案】D1．（2023上·江苏南通·高三统考阶段练习）已知曲线32399yxxx与曲线121xyx交于点11222,,,,,,nnnAxyAxyAxy，则1niiixy（）A．16B．12C．9D．62．（2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足对任意实数x有21fxfxfx，若2yfx的图象关于直线12x对称，12f，则231()kfk（）A．2B．1C．1D．23．（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）（多选）已知函数1coscos2fxxx，则（）A．fx的图象关于直线πx轴对称B．fx的图象关于点π,04中心对称C．fx的所有零点为21π,kkZD．fx是以π为周期的函数4．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数33sincoscossinxxfxxx，则下列判断正确的是（）A．函数fx的图象关于原点对称B．π是函数fx的一个周期C．函数fx的图象关于直线π2x对称D．当π0,2x时，fx的最小值为1技法05函数4大性质的综合应用及解题技巧知识迁移1.周期性对称性综合问题①若xafxaf，xbfxbf，其中ba，则xf的周期为：baT2②若xafxaf，xbfxbf，其中ba，则xf的周期为：baT2③若xafxaf，xbfxbf，其中ba，则xf的周期为：baT42.奇偶性对称性综合问题①已知xf为偶函数，axf为奇函数，则xf的周期为：aT4②已知xf为奇函数，axf为偶函数，则xf的周期为：aT4例5．（2021·全国·统考