题型08 手把手教学答题模板之4类函数单调性与函数极值最值（原卷版）

题型08手把手教学答题模板之4类函数单调性与函数极值最值技法01具体函数的单调性知识迁移导函数与原函数的关系，)(,0)(xfxf单调递增，)(,0)(xfxf单调递减例1-1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数1lnfxxx，讨论fx的单调性【详解】fx的定义域为0,．由1lnfxxx得，lnfxx，技法01具体函数的单调性技法02含参函数且导函数可分解型函数的单调性技法03含参函数且导函数不可分解型函数的单调性技法04二阶导函数求函数的单调性函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图象、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而具体函数的单调性是要掌握的基础知识点令0fx，则1x，当0,1x时0fx；当1,x时，'0fx．故fx在区间0,1内为增函数，在区间1,内为减函数，例1-2．（全国·高考真题）已知函数32113fxxaxx．若=3a，求fx的单调区间【详解】当a=3时，321()3333fxxxx，2()63fxxx．令=0fx解得x=323或x=323．当(,323)(323,)x时，0fx当(323,323)x时．0fx所以函数的增区间是(,323)和(323,)，减区间是(323,323)．1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数2sinπ,0,cos2xfxaxxx．当1a时，讨论fx的单调性2．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln(0)2fxxxx．求()fx的单调区间3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()eeaxxfxx．当1a时，讨论()fx的单调性4．（2021·全国·统考高考真题）已知0a且1a，函数()(0)axxfxxa．当2a时，求fx的单调区间5．（2020·全国·统考高考真题）已知函数2()exfxaxx，当a=1时，讨论f（x）的单调性技法02含参函数且导函数可分解型函数的单调性例2-1．（2023·河北唐山模拟）已知函数exfxaax．讨论fx的单调性；【详解】因为()exfxaax，定义域为R，所以e1xfxa，当0a时，由于e0x，则e0xa，故0e1xfxa恒成立，所以fx在R上单调递减；当0a时，令e10xfxa，解得lnxa，当lnxa时，0fx，则fx在,lna上单调递减；当lnxa时，()0fx¢，则fx在ln,a上单调递增；综上：当0a时，fx在R上单调递减；当0a时，fx在,lna上单调递减，fx在ln,a上单调递增.例2-2．（2023·全国·模拟预测）已知函数21e,R2xfxaxxxx．讨论函数()fx的单调性．【详解】由题意函数()fx的定义域为R,ee11e1xxxfxaxxxa．当0a时，若,1,0xfx，则()fx单调递增；若1,,0xfx，则()fx单调递减．函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点当0a时，令()0fx，得=1x或lnxa．①当1lna时，ea，则()0,()fxfx在R上单调递增．②当ln1a时，ea，则当(,ln)xa时，()0,()fxfx单调递增；当ln,1xa时，()0,()fxfx单调递减；当(1,)x时，()0,()fxfx单调递增．③当ln1a时，0ea，则当(,1)x时，()0,()fxfx单调递增；当1,lnxa时，()0,()fxfx单调递减；当(ln,)xa时，()0,()fxfx单调递增．综上，当0a时，()fx在(,1)上单调递增，在(1,)上单调递减；当0ea时，()fx在,1,ln,a上单调递增，在1,lna上单调递减；当ea时，()fx在R上单调递增；当ea时，()fx在,ln,1,a上单调递增，在ln,1a上单调递减．例2-3．（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知函数2()e(2)e1xxfxaax，讨论()fx的单调性；【详解】对2()e(2)e1xxfxaax求导得，2()2e(2)1e2eexxxxfxaaa，分以下两大情形来讨论()fx的单调性：情形一：当0a时，有2e0xa，令01()2eexxfax，解得0x，所以当0x时，有01()2eexxfax，此时()fx单调递减，当0x时，有01()2eexxfax，此时()fx单调递增；所以()fx在,0单调递减，在0,单调递增；情形二：当a0时，令01()2eexxfax，解得120,ln2axx，接下来又分三种小情形来讨论()fx的单调性：情形（1）：当2a时，有120ln2axx，此时12,),,ee(xxfxfxa随x的变化情况如下表：,00,ln2aln,2a2exae1x()fx()fx由上表可知()fx在,0和ln,2a上单调递增，在0,ln2a上单调递减；情形（2）：当2a时，有120ln2axx，此时2()e10xfx，所以此时()fx在R上单调递增；情形（3）：当20a时，有120ln2axx，此时12,),,ee(xxfxfxa随x的变化情况如下表：,ln2aln,02a0,2exae1x()fx()fx由上表可知()fx在,ln2a和0,上单调递增，在ln,02a上单调递减.综上所述：当2a时，()fx在,0和ln,2a上单调递增，在0,ln2a上单调递减；当2a时，()fx在R上单调递增；当20a时，()fx在,ln2a和0,上单调递增，在ln,02a上单调递减；当0a时，()fx在,0上单调递减，在0,上单调递增.1．（2023·全国·模拟预测）已知函数2122exfxxaxaxaR，讨论fx的单调性．2．（2023·全国·模拟预测）已知函数122ln11eln11,R4xxfxxaxaxxa．讨论fx的单调性；3．（2023·全国·模拟预测）已知e1lnxfxaxxx，讨论函数()fx的单调性.4．（2021·浙江·统考高考真题）设a，b为实数，且1a，函数2R()xfxabxex，求函数fx的单调区间；5．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数2()(1)xfxxeaxb，讨论()fx的单调性6．（2023·全国·模拟预测）已知函数21()(2)ln(1)2fxxaxax，讨论()fx的单调性技法03含参函数且导函数不可分解型函数的单调性函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的难点例3-1．（2023·福建三明·统考三模）已知函数lnR1axfxxax，讨论fx的单调性；【详解】fx定义域为0,，因为ln1axfxxx，所以22221111xaxafxxxxx.令0fx，则2210xax，所以22Δ(2)44aaa，当04a时，Δ0，此时0fx，所以fx在0,上单调递减.当0a时，令0fx，则212402aaax，222402aaax所以当0,x时，0fx，即fx在0,上单调递减.当4a时，令0fx，则212402aaax，222402aaax所以当2224240,,22aaaaaax时，0fx，即fx在2240,2aaa和224,2aaa上单调递减，当222424,22aaaaaax时，()0fx¢，即fx在222424,22aaaaaa上单调递增.综上所述：当4a时，fx在0,上单调递减；当4a时，fx在2240,2aaa和224,2aaa上单调递减，在222424,22aaaaaa上单调递增例3-2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数32()1fxxxax．讨论fx的单调性；【详解】(1)由函数的解析式可得：232fxxxa，导函数的判别式412a，当14120,3aa时，0,fxfx在R上单调递增，当时，的解为：12113113,33aaxx，当113,3ax时，单调递增；当113113,33aax时，单调递减；当113,3ax时，单调递增；综上可得：当时，在R上单调递增，当时，在113,3a，113,3a上单调递增，在113113,33aa上单调递减.1．（2023·四川绵阳·统考二模）已知22eRxfxxmxm，讨论fx的单调性；2．（2023·福建·校联考模拟预测）设函数22lnfxxaxx（Ra），讨论fx的单调性；3．（2023·广西·模拟预测）已知22exfxxmx（mR）．讨论fx的单调性；技法04二阶导函数求函数的单调性例4-1．（20