题型07 3类导数综合问题解题技巧（端点效应（必要性探索）、函数的凹凸性、洛必达法则）（原卷版）

题型073类导数综合问题解题技巧（端点效应（必要性探索）、函数的凹凸性、洛必达法则）技法01端点效应（必要性探索）解题技巧知识迁移端点效应的类型技法01端点效应（必要性探索）解题技巧技法02函数凹凸性解题技巧导数压轴中我们经常遇到恒成立问题，含有参数的不等式恒成立求参数的取值范围问题，是热点和重点题型，方法灵活多样，常见的方法有:①分离参数（全分离或半分离）＋函数最值;②直接（或移项转化）求导＋分类讨论.但以上两种方法都有缺陷，首先对于方法①可能会出现参数分离困难或是无法分离，抑或函数最值点无法取到，即无定义，这时就需要用到超纲的方法：洛必达法则。其次，对于方法②直接分类讨论可能会出现在某些区间无法讨论下去，或是无法排除原问题在该区间是否恒成立，即讨论界点不明。基于以上两点，我们今天这讲就来解决这两个不足之处，基本对策就是先必要后充分的思想。该思想就是当参变分离较为困难、带参讨论界点不明时，含参不等式问题还可以采用先必要、后充分的做法，即先抓住一些关键点（区间端点，可使不等式部分等于零的特殊值等），将关键点代入不等式解出参数的范围，获得结论成立的必要条件，再论证充分性，从而解决问题.1.如果函数()fx在区间[,]ab上,()0fx恒成立,则()0fa或()0fb.2.如果函数()fx在区问[,]ab上,()0fx恒成立,且()0fa(或()0fb),则()0fa或()0fb.3.如果函数()fx在区问[,]ab上,()0fx恒成立,且()0,()0fafa(或()0fb,()0fb则()0fa或()0fb.例1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数3sinπ(),0,cos2xfxaxxx(1)当8a时，讨论()fx的单调性；(2)若()sin2fxx恒成立，求a的取值范围．【法一】端点效应一令()()sin2,0,2gxfxxx，得(0)0g，且()0gx在0,2x上恒成立画出草图根据端点效应,需要满足(0)0g„，而2412sin()2cos2cosxgxaxx则(0)3ga,令(0)0g„,得3a当3a„时,由于(0)0g,只需证()0gx即可，而()gx含有参数a,故可对()gx进行放缩即222244412sin12sin32cos2cos232cos254coscoscoscosxxxgxaxxxxxx令2costx,其中01t，设232()54thttt，则332362426()4tthtttt令3()426pttt，则2()1220ptt,故()pt在(0,1)上递减,得()(1)0ptp则()0ht,得()ht在(0,1)上单调递增,则()(1)0hth，即()0gx,满足()(0)0gxg成立当3a时，030由于,ga，故存在0x,使得在00,x上()0gx,所以()gx在00,x上单调递增,则()(0)0gxg,不成立，特上所述:3a.【法二】【法三】见解析版1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数2sinπ,0,cos2xfxaxxx．(1)当1a时，讨论fx的单调性；(2)若sin0fxx，求a的取值范围．2．（2020·全国·统考高考真题）已知函数2()exfxaxx.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥12x3+1，求a的取值范围.3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()eeaxxfxx．(1)当1a时，讨论()fx的单调性；(2)当0x时，()1fx，求a的取值范围；(3)设nN，证明：222111ln(1)1122nnn．技法02函数凹凸性解题技巧知识迁移凹函数：对于某区间内12,xx,都有121222fxfxxxf.凸函数：对于某区间内12,xx,都有121222fxfxxxf.例2-1．在ABC中,求sinsinsinABC的最大值.因为函数sinyx在区间(0,)上是上凸函数,则13(sinsinsin)sinsin3332ABCABC即33sinsinsin2ABC,当且仅当sinsinsinABC时,即3ABC时,取等号.函数凹凸性是函数的一种特殊特征,近年来,以函数凹凸性为背景的题目屡见不鲜,这些试题情景新颖,能考查学生的创新能力和潜在的数学素质,常作为压轴题出现.虽然在高中课本中没有这方面的内容,但高中教师若能多了解一些函数凹凸性的相关理论知识,可以“登高望远”,便于找到问题的本质内涵,确定解题方向,寻找简捷的解题途径.上述例题是三角形中一个重要的不等式:在ABC中,33sinsinsin.2ABC例2-2（2021·黑龙江模拟）丹麦数学家琴生()Jensen是19世纪对数学分析做出卓越贡献的数学家，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数()fx在(,)ab上的导函数为()fx，()fx在(,)ab上的导函数为()fx，若在(,)ab上()0fx恒成立，则称函数()fx在(,)ab上为“凸函数”．已知2()ln2xmfxexxx在(1,4)上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（）A．1,eB．1,eC．41,4eD．41,4e因为2()ln2xmfxexxx，所以()1lnln1xxfxexmxemxx，1()xfxemx，因为2()ln2xmfxexxx在(1,4)上为“凸函数”，所以1()0xfxemx对于(1,4)x恒成立，可得1xmex对于(1,4)x恒成立，令1xgxex，则maxmgx，因为210xgxex，所以1xgxex在(1,4)单调递增，所以4max144gxge，所以414me，【答案】C1．（全国·高考真题）已知函数2()(2)(1)xfxxeax有两个零点.（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是()fx的两个零点，证明：122xx.2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数1lnfxxx.（1）讨论fx的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且lnlnbaabab，证明：112eab.3．（陕西·高考真题）已知函数()e,xfxxR.(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;(2)设x0,讨论曲线y＝f(x)与曲线2(0)ymxm公共点的个数.(3)设ab,比较()()2fafb与()()fbfaba的大小,并说明理由.技法03洛必达法则解题技巧知识迁移洛必达法则：法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)lim0xafx及lim0xagx；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；(3)limxafxlgx，洛必达法则只是一个求极限的工具，是在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式极限值的方法。详细的洛必达法则应用是大学高等数学中才介绍，这里用高中生最能看懂的方式说明，能备考使用即可.那么limxafxgx=limxafxlgx。00型法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limxafx及limxagx；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；(3)limxafxlgx，那么limxafxgx=limxafxlgx。型注意：1.将上面公式中的,xax换成,,,xxxaxa洛必达法则也成立。2.洛必达法则可处理000,,0,1,,0,0型。3.在着手求极限前,首先要检查是否满足0,,0,10,00,0,型定式,否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限。4.若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止。()()()limlimlim()()()xaxaxafxfxfxgxgxgx,如满足条件,可继续使用洛必达法则。例3．（全国高考）已知ln1ln11xxkxxxx恒成立,求k的取值范围解:2ln1ln2ln1111xxkxxkxxxxx记22ln()11xxgxx,则22222222221ln21211()ln111xxxxxgxxxxx221ln1记xhxxx则222222114()011xxhxxxxx所以,()hx在(0,)单调递增,且(1)0h所以(0,1)x时,()0,(1,)hxx时,()0hx即()gx在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增所以2112112lnlimlim112ln22lnlim1lim111012xxxxxxkgxxxxxxx所以0k分析上式中求212lnlim11xxxx用了洛必达法则当1x时,分子2ln0xx,分母210x,符合00不定形式,所以2112ln22lnlimlim112xxxxxxx1．（全国高考）2(0,),10xxexax…恒成立,求a的取值范围2．（天津高考）2[0,),ln(1)xxxax恒成立,求a的取值范围3．（2023·江苏模拟）已知函数321,12.0,12xxfxxegxaxxcosxx当时，（I）求证11;1xfxx（II）若fxgx恒成立，a求实数的取值范围.