题型10 6类三角恒等变换解题技巧（拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公式）（原

题型106类三角恒等变换解题技巧（拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公式）技法01拼凑思想的应用及解题技巧知识迁移12()[()()]221[()()]2424aa例1-1．（全国·高考真题）tan255°=技法01拼凑思想的应用及解题技巧技法02升（降）幂公式的应用及解题技巧技法03三倍角公式的应用及解题技巧技法04半角公式的应用及解题技巧在三角函数求值题目当中，常常会出现已知条件中给出两个或者一个三角函数值，求问题中的三角函数值，解决此类问题的关键在于用“已知角”来表示“未知角”1、当“已知角”有两个时，“所求角一般表示两个已知角”的和与差的关系2、当已知角有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和与差或倍数的关系，然后借助三角恒等变换公式把“所求角”变成“已知角”A．－2－3B．－2+3C．2－3D．2+3【详解】000000tan255tan(18075)tan75tan(4530)=000031tan45tan30323.1tan45tan30313例1-2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考一模）若ππ2sinsin36，则πtan3（）A．538B．334C．433D．538【详解】由πππππ2sin2sin2cossin32666，所以πtan26，则ππ3tantan263323πππ63663tantan538ππ36633233233231tantan126631．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知26sin7，10cos5，且304，304，则sin（）A．91535B．111035C．1535D．10352．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知A为锐角，costan22sinAAA，215tan15AB，则tanB（）A．1517B．1517C．21517D．215173．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知π0,cos2cos212coscos2，则（）A．π6B．π3C．π6D．π3技法02升（降）幂公式的应用及解题技巧知识迁移升幂公式：2sin212cos，1cos22cos2降幂公式：22cos1sin2，22cos1cos2例2-1．（2023·全国·模拟预测）已知π2sin63x，则2πcos23x（）A．29B．19C．19D．29【详解】因为π2sin63x，所以ππ2cossin36322ππcos22cos133x412199．例2-2．（2023·全国·统考高考真题）已知11sin,cossin36，则cos22（）．A．79B．19C．19D．79【详解】因为1sin()sincoscossin3，而1cossin6，因此1sincos2，则2sin()sincoscossin3，所以2221cos(22)cos2()12sin()12()39.在三角恒等变换的倍角考查中，升幂公式及降幂公式极其重要，需灵活掌握，在高考中也是高频考点，要强加练习1．（2023·全国·模拟预测）已知31cos(),sinsin55，则cos(22)（）A．1B．－1C．2325D．23252．（2023·河南·统考模拟预测）已知26cos3sin3，则πcos(2)3（）A．23B．23C．13D．133．（2023·全国·模拟预测）若2sincos2sincossin3，则sin22（）A．79B．19C．19D．794．（2023·四川成都·石室中学校考一模）已知2sinsin3，2coscos1，则cos22（）A．18B．154C．14D．78技法03三倍角公式的应用及解题技巧知识迁移sin3𝛼=3sin𝛼−4sin3𝛼cos3𝛼=−3cos𝛼+4cos3𝛼tan3𝛼=3tan𝛼−tan3𝛼1−3tan2𝛼=tan𝛼tan(𝜋3−𝛼)tan(𝜋3+𝛼)例3．已知在△𝐴𝐵𝐶中,角𝐴、𝐵、𝐶的对边依次为𝑎、𝑏、𝑐,𝑎=6,4sin𝐵=5sin𝐶,𝐴=2𝐶,求𝑏、𝑐边长。在三角函数或解三角形的一些问题中,会出现三倍角,解决起来需要把三倍角转化成一倍角与二倍角的和，化简起来会多些步骤，而知道三倍角公式,我们可以更快的得出结果【解析】𝐵=𝜋−(𝐴+𝐶)=𝜋−3𝐶4sin𝐵=5sin𝐶⇒4sin(𝜋−3𝐶)=4sin3𝐶=5sin𝐶⇒4(3sin𝐶−4sin3𝐶)=5sin𝐶⇒4(3−4sin2𝐶)=5⇒12−16sin2𝐶=5⇒sin𝐶=√74⇒cos𝐶=34∵𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,𝐴=2𝐶⇒𝑎2sin𝐶cos𝐶=𝑐sin𝐶⇒𝑐=𝑎2cos𝐶=44sin𝐵=5sin𝐶⇒4𝑏=5𝑐⇒𝑏=51.函数𝑓(𝑥)=4sin3𝑥−sin𝑥+2(sin𝑥2−cos𝑥2)2的最小正周期为（）.A.2𝜋B.𝜋2C.2𝜋3D.𝜋2.已知△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐.若𝐴=2𝐵,且𝐴为锐角,则𝑐𝑏+1cos𝐴的最小值为()A.2√2+1B.3C.2√2+2D.4技法04半角公式的应用及解题技巧知识迁移sinα2＝±1－cosα2，cosα2＝±1＋cosα2，tanα2＝±1－cosα1＋cosα＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.例4．（2023·全国·统考高考真题）已知为锐角，15cos4，则sin2（）．A．358B．158C．354D．154【详解】因为215cos12sin24，而为锐角，所以sin21－cosα225135518164．1．（2021·黑龙江·黑龙江实验中学校考模拟预测）已知1cos()3，若是第二象限角，则tan2（）A．22B．2C．2D．222．（2022·江西上饶·上饶市第一中学校联考二模）已知π3,π,sin25，则cosπ2（）A．1010B．1010C．31010D．310103．（2023·全国·模拟预测）已知是锐角，1cos3，则πcos26（）A．1626B．1626C．3263D．2326半角公式是三角函数的一个重要知识点，也是高考重要考点，我们需要知道什么是半角公式及半角公式的考查形式技法05万能公式的应用及解题技巧知识迁移22222tan1tan2tan222sincostan1tan1tan1tan222xxxxxxxxx例5．在△𝐴𝐵𝐶中,tan𝐶2=3tan𝐴2,则2sin𝐴+6sin𝐶的最小值为A.4B.2√5C.4√5D.162sin𝐴+6sin𝐶=22tan𝐴21+tan2𝐴2+62tan𝐶21+tan2𝐶2=1+tan2𝐴2tan𝐴2+3(1+tan2𝐶2)tan𝐶2=1tan𝐴2+tan𝐴2+3tan𝐶2+3tan𝐶2理论上上所有公式都是万能公式。但是真正提起万能公式的时候，是指三角函数中的正切半角公式，或称以切表弦公式。这组公式可以将角的正弦、余弦、正切这几个三角函数统一用半角的正切值来表示，实现化简的目的。=1tan𝐴2+tan𝐴2+33tan𝐴2+3⋅3tan𝐴2=10tan𝐴2+2tan𝐴2≥2√20=4√5.最小值为4√51．（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知ABC内角分别为,,ABC，且满足cos2sin022BAC，则59sinsinAC的最小值为.2．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC满足2sinsin2sinABC，则59sinsinAC的最小值是．技法06正余弦平方差公式的应用及解题技巧知识迁移正弦平方差公式:sin2𝐴−sin2𝐵=sin(𝐴+𝐵)sin(𝐴−𝐵)余弦平方差公式:cos2𝐴−sin2𝐵=cos(𝐴+𝐵)cos(𝐴−𝐵)例6．已知sin𝛼=12,sin𝛽=13,则sin(𝛼+𝛽)sin(𝛼−𝛽)=________正余弦平方差公式是数学中一个重要的公式，它涉及到三角函数和代数运算，具有广泛的应用，需强加练习由已知可得sin(𝛼+𝛽)sin(𝛼−𝛽)=sin2𝛼−sin2𝛽=(12)2−(13)2=536.1.函数𝑓(𝑥)=sin2(𝑥+𝜋4)−sin2(𝑥−𝜋4)是( )A.周期为𝜋的偶函数B.周期为𝜋的奇函数C.周期为2𝜋的奇函数D.周期为2𝜋的奇函数2.在△𝐴𝐵𝐶中,角𝐴,𝐵,𝐶所对的边长分别为𝑎,𝑏,𝑐,已知(𝑎2−𝑏2)sin(𝐴+𝐵)=(𝑎2+𝑏2)sin(𝐴−𝐵),判断△𝐴𝐵𝐶的形状