题型11 4类三角函数选填解题技巧（图象与性质、异名伸缩平移、最值与值域、ω的取值范围）（原卷版）

题型114类三角函数选填解题技巧（三角函数图象与性质、异名伸缩平移、最值与值域、ω的取值范围）技法01三角函数图象与性质的解题技巧例1-1．（2021·全国·统考高考真题）下列区间中，函数7sin6fxx单调递增的区间是（）A．0,2B．,2ππC．3,2D．3,22由22262kxkkZ，解得22233kxkkZ，取0k，可得函数fx的一个单调递增区间为2,33，故选：A.技法01三角函数图象与性质的解题技巧技法02异名三角函数伸缩平移的解题技巧技法03三角函数最值与值域的解题技巧在高考中经常考查三角函数的图象与性质，解题的关键在于利用整体思想快速求解，有时也可以用到函数图象的特有位置求解，例如检验三角函数的对称中心处函数值是否为0，对称轴处是否取得最值等都是解题突破口.例1-2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）（多选）已知函数2()cos3sincosfxxxx，则（）A．fx的最小值为12B．fx的图象关于点π,012对称C．直线π3x是fx图象的一条对称轴D．fx在区间ππ,63上单调递减由题意得21cos23()cos3sincossin222xfxxxxxπ1cos(2)32x，故fx的最小值为11122-+=-，A正确；将π12x代入π1cos(2)32xfx中，得ππ11cos()6322π12f，即fx的图象关于点π1,122对称，B错误；将π3x代入π1cos(2)32xfx中，得2ππ11cos()3322π3f，即此时π1cos(2)32xfx取到最小值，即直线π3x是fx图象的一条对称轴，C正确；当ππ,63x时，π20,π3x，由于cosyx在0,π上单调递减，故fx在区间ππ,63上单调递减，D正确，故选：ACD1．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）（多选）已知函数π2cos26fxx，则下列描述正确的是（）A．函数fx的最小正周期为πB．π6x是函数fx图象的一个对称轴C．π,03是函数fx图象的一个对称中心D．若函数fx的图象向左平移π6个单位长度可得函数gx的图象，则gx为奇函数2．（2023·全国·模拟预测）（多选）将函数3sincos06fxxx的图象向左平移π6个单位长度得到函数gx的图象，且π26g，则下列结论中正确的是（）A．gx为奇函数B．当π,π2x时，fx的值域是2,1C．gx的图象关于点π,06对称D．gx在π0,6上单调递增3．（2023·广东汕头·校考一模）（多选）已知函数πsin0,2fxx的最小正周期是π，把它图象向右平移π3个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（）A．函数fx的图象关于直线5π12x对称B．函数fx的图象关于点π,012对称C．函数fx在区间ππ,212上单调递减D．函数fx在π3π,42上有3个零点4．（2023·山西吕梁·统考二模）（多选）若函数2sincossin1fxxxx（0）的最小正周期为π，则（）A．π08fB．fx在ππ,42上单调递减C．2fx在5π0,2内有5个零点D．fx在ππ,44上的值域为1,2技法02异名三角函数伸缩平移的解题技巧知识迁移通常用2πcossinxx进行正弦化余弦，用2πsincosxx进行余弦化正弦在三角函数的伸缩平移变换中，同名三角函数的伸缩平移变换相对简单，异名三角函数的伸缩平移变换需要先转化为同名三角函数，然后在进行伸缩平移变化，是高考中的高频考点，需强化练习.例2-1．（2022·四川模拟）若要得到函数πsin26fxx的图象，只需将函数πcos23gxx的图象（）A．向左平移π6个单位长度B．向右平移π6个单位长度C．向左平移π3个单位长度D．向右平移π3个单位长度我们可以对平移前πcos23gxx进行变换，πππ5πcos2=sin2sin23326gxxxx，从而转化为5πsin26gxxπsin26fxx？的变换；我们同样也对平移后πsin26fxx进行变换，ππππsin2cos2cos26623fxxxx，从而转化为πcos23gxxπcos23fxx？的变换，进而求解变换过程【答案】D例2-2．（2022·江苏·模拟）为了得到函数πsin24yx的图象，可以将函数πcos23yx的图象（）A．向左平移5π24个单位B．向右平移7π24个单位C．向右平移5π24个单位D．向左平移7π24个单位【详解】πππ5πcos2sin2sin23326yxxx，设平移了个单位，得到5πsin226gxx，则5ππ264，解得：7π24，即向右平移了7π24个单位.【答案】B1．（全国·高考真题）为得到函数πcos23yx的图像，只需将函数sin2yx的图像（）A．向左平移5π12个长度单位B．向右平移5π12个长度单位C．向左平移5π6个长度单位D．向右平移5π6个长度单位2．（天津·高考真题）要得到函数2cosyx的图象，只需将函数2sin(2)4yx的图象上所有的点的A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8个单位长度C．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8个单位长度D．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4个单位长度3．（全国·高考真题）为了得到函数sin26yx的图象，可以将函数cos2yx的图象A．向右平移6个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向左平移6个单位长度D．向左平移3个单位长度4．（全国·高考真题）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2技法03三角函数最值与值域的解题技巧例3-1．（2019·全国·高考真题）函数3π()sin(2)3cos2fxxx的最小值为_________．【详解】23()sin(2)3coscos23cos2cos3cos12fxxxxxxx23172(cos)48x，1cos1x，当cos1x时，min()4fx，故函数()fx的最小值为4．例3-2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数sincos2sincos2fxxxxx，则（）A．fx的最大值为3，最小值为1B．fx的最大值为3，最小值为-1C．fx的最大值为32，最小值为34D．fx的最大值为32，最小值为32【详解】因为函数sincos2sincos2fxxxxx，在三角函数及三角恒等变换的学习中，经常会遇到求解三角函数型的值域问题，解决问题的关于在于整体思想或换元思想，本内容在高考中也是重要考点.设sincos2sin4xxxt，2,2t，则22sincos1xxt，所以2213124yttt，2,2t，当12t时，min34ft；当2t时，max32ft.故选：C1.（全国·高考真题）函数π()cos26cos()2fxxx的最大值为（）A．4B．5C．6D．72.（全国·高考真题）函数f(x)=15sin(x+3)+cos(x−6)的最大值为（）A．65B．1C．35D．153.（全国·高考真题）函数23s34fxinxcosx（0,2x）的最大值是．4.（全国·高考真题）函数2cos3cos2yxx的最小值为（）A．2B．0C．14D．65.（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）函数22cos6cos52xfxx的最小值为（）A．14B．0C．2D．6技法04三角函数ω的取值范围解题技巧例4-1．（2023·山西·高三校考）已知函数cos3sin0fxxx，若fx在区间0,2π上有且仅有4个零点和1个极大值点，则的取值范围是（）A．523,312B．1913,126C．513,36D．1911,126先用辅助角公式把函数名统一，即π=cos3sin=2cos(+)3fxxxx，此时我们可以换元作图，令3πtx，由[0,2π]xÎ，则ππ,2π+33t，则=2cosftt，ππ,2π+33t，作图如下：有4个零点和1个极大值点，即右端点7ππ23π4π2，解得1911126，故的取值范围是1911,126.故选：D.例4-2．（2023秋·四川模拟）已知函数13sincos022fxxx，若fx在π3π,22上无零点，则的取值范围是（）在近几年的高考中,三角函数中参数ω的取值范围问题常以小题的形式呈现，解题过程渗透了数学运算、逻辑推理等核心素养，因而有一定的难度．我们知道ω影响三角函数的周期，进而影响同一周期中函数的单调性、对称轴、对称中心、最值、零点等．解决此类问题最为直接的方法是通过整体换元将问题转化为正弦、余弦、正切函数问题,再通过图像的性质列出相关约束条件．由此可知掌握正弦、余弦、正切函数的相关性质是关键．A．280,,99B．2280,,939C．280,,199D．28,991,【详解】因为13πsincossin223fxxxx，所以若π3π22x，则πππ3ππ23323x，即3πππππ23232T，则21，又0，解得01，又πππ,233ππ1π,23kk解得3412323k，当0k时，2839；当1k时，因为01，所以可得209．所以2280,,939．故选：B1．（2023·山西吕梁·统