题型17 5类数列求和（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、奇偶并项、周期与类周期综合）（原卷

题型17手把手教学答题模板之5类数列求和（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、奇偶并项、周期与类周期综合）技法01分组求和的应用及解题技巧例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列na的前n项和为1,3,233nnnSaSa.(1)求na的通项公式；(2)设数列nb满足：3lognnnbaa，记nb的前n项和为nT，求nT.（1）*3Nnnan（2）3log3nnnnbaan.1211213132313nnnnnTbbbbnn技法01分组求和的应用及解题技巧技法02裂项相消的应用及解题技巧技法03错位相减（万能公式）的应用及解题技巧分组求和是把数列分为两组求和，一般为等差+等比，此类题型较简单，利用公式求和即可，也是高考中的常考考点，需强加练习1213333121nnnn123131331322nnnnnn所以nb的前n项和12332nnnnT.1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列na是首项为1，公差为d的等差数列，且1a，21a，31a是等比数列nb的前三项．(1)求na的通项公式；(2)设21lognnnnabca，求数列nc的前n项和nT．2．（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列na为单调递增的等比数列，且123512aaa，3112aa．(1)求数列na的通项公式；(2)若21nnban，求数列nb的前n项和nT．3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列na满足*1121,,Nnnnaaana．(1)证明21nnaa是等比数列；(2)若31nnba，求nb的前n项和nS．技法02裂项相消的应用及解题技巧知识迁移常见的裂项技巧：1111nnkknnk1nkn1nknk裂项相消求和是把数列拆分，然后抵消后即可求和，此类题型较简单，也是高考中的常考考点，需强加练习1111212122121nnnn122121nnn1121212121nnnn1112121nn指数型11nnnaaaa对数型11logloglognaanannaaaa1111122112nnnnnnn111!!1!nnnn1121121212121nnnnn121112212nnnnnnnn例2．（2022·全国·统考高考真题）记nS为数列na的前n项和，已知11,nnSaa是公差为13的等差数列．(1)求na的通项公式；(2)证明：121112naaa．（1）na的通项公式12nnna；（2）12112,11nannnn∴12111naaa1111112121222311nnn1．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设nS为数列na的前n项和，已知11a，且满足2(1)nnSan．(1)求数列na的通项公式；(2)设nT为数列nb的前n项和，当2n时，111nnnnbaaa．若对于任意*nN，有1nT，求1b的取值范围．2．（2023·江苏南京·统考二模）已知数列na的前n项和为nS，12a，1122nnnnSanS，*Nn．(1)求数列na的通项公式；(2)求证：22212111716naaa．3．（2023·广东韶关·统考一模）已知数列na的前n项和nS满足*11,NnnnaSnnn.(1)证明：数列na是等差数列；(2)设211nnnnnbaa，若248,,aaa成等比数列，求数列nb的前n项和nT.4．（2023·山东德州·三模）已知nS为数列na的前n项和，112,32nnaSan．(1)求数列na的通项公式na；(2)设12nnnnbaa，记nb的前n项和为nT，证明：15nT．5．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知正项数列na的前n项和nS，满足：212nnaS．(1)求数列na的通项公式；(2)记21nnnnbSS，设数列nb的前n项和为nT，求证516nT．技法03错位相减的应用及解题技巧知识迁移万能公式：形如1()(1)nncanbqq的数列求和为()(1)nnSAnBqCq，错位相减求和一般是等差数列乘等比数列求和，即差比数列，解题的关键是乘公比错位相减，也可以用万能公式求解，是高考中的高频考点，需强加练习其中1aAq，1bABq，CB例3．（2023·全国·统考高考真题）设nS为数列na的前n项和，已知21,2nnaSna．(1)求na的通项公式；(2)求数列12nna的前n项和nT．（1）*1Nnann．（2）因为122nnnan，所以12311111232222nnTn，2311111112(1)22222nnnTnn，两式相减得，123111111111222222111222211nnnnnnnT，11122nn，即1222nnTn，*Nn．也可以用万能公式求出A、B、C直接求解1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知nS为数列na的前n项和，11a，且nS是公差为1的等差数列．正项等比数列nb满足11b，316ab．(1)求数列nab的通项；(2)求数列nnaab的前n项和nT．2．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知两个正项数列na，nb满足1nnnbab，211nnban．(1)求na，nb的通项公式；(2)用x表示不超过x的最大整数，求数列12nbnnaa的前n项和nS．3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列na前n项和为nS，满足12(1)nSnna．(1)求数列na的通项公式；(2)令1212nannnnbaaa，求数列nb的前n项和nT．4．（2021·全国·统考高考真题）设na是首项为1的等比数列，数列nb满足3nnnab．已知1a，23a，39a成等差数列．（1）求na和nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为na和nb的前n项和．证明：2nnST．5．（2023·全国·模拟预测）已知数列na满足*111,3233nnaaannN．(1)求证：数列nan为等比数列，并求na的通项公式；(2)设12nnbnan，求nb的前n项和．技法04奇偶并项的应用及解题技巧例4-1．（2023·全国·统考高考真题）已知na为等差数列，6,2,nnnanban为奇数为偶数，记nS，nT分别为数列na，nb的前n项和，432S，316T．有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等。这类题目对大部分学生来说难度较大，需强化练习(1)求na的通项公式；(2)证明：当5n时，nnTS．（1）23nan.（2）方法1：由（1）知，2(523)42nnnSnn，23,21,N46,2nnnkbknnk，当n为偶数时，12(1)34661nnbbnnn，213(61)372222nnnTnn，当5n时，22371()(4)(1)0222nnTSnnnnnn，因此nnTS，当n为奇数时，22113735(1)(1)[4(1)6]52222nnnTTbnnnnn，当5n时，22351(5)(4)(2)(5)0222nnTSnnnnnn，因此nnTS，所以当5n时，nnTS.方法2：由（1）知，2(523)42nnnSnn，23,21,N46,2nnnkbknnk，当n为偶数时，21312412(1)3144637()()222222nnnnnnnTbbbbbbnn，当5n时，22371()(4)(1)0222nnTSnnnnnn，因此nnTS，当n为奇数时，若3n，则132411231144(1)61()()2222nnnnnnnTbbbbbb235522nn，显然111Tb满足上式，因此当n为奇数时，235522nTnn，当5n时，22351(5)(4)(2)(5)0222nnTSnnnnnn，因此nnTS，所以当5n时，nnTS.例4-2．（2023·山东烟台·统考二模）已知数列na的前n项和为nS，39S，12nnaa，数列nb满足12b，且12nnbb．(1)求数列na和nb的通项公式；(2)设111122nnnnncab，求数列21nncc的前n项和nT．（1）2nnb.（2）由（1）得：111211122nnnncn，即2,21,nnncnn为奇数为偶数，当n为奇数时，2221211112224nnnnnncc；当n为偶数时，211111212342123nnccnnnn；当n为偶数时，2411111111114444377112123nnTnn22111111111131144114323154128122015481214nnnnnn；当n为奇数时，111313111112015482042125nnnnnTTccnnn13112015484nn；综上所述：1311,2015484311,20154812nnnnnTnn为奇数为偶数.1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列na的首项为1，公差为2．正项数列nb的前n项和为nS，且22nnnSbb．(1)求数列na和数列nb的通项公式；(2)若,2,nnnbancn为奇数为偶数，求数列nc的前2n项和．2．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）已知数列na的前n项的积记为nT，且满足11nnnaTa(1)证明：数列nT为等差数列;(2)若11,1,nnnnTnbnTT为奇数，为偶数，求数列nb的前2n项和2nT.3．（天津·统考高考真题）已知na为等差数列，nb为等比数列，