专题1 用导数研究含参函数的单调性（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题1用导数研究含参函数的单调性一、考情分析函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高考中的热点难点.二、解题秘籍连续函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程0fx的根,所以求解含参函数的单调性问题,一般要根据0fx的根的情况进行分类,分类时先确定导函数是一次型、二次型还是其他类型1.若导函数是一次型,分类步骤是：①判断是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；②若有根,求出0fx导的根,并判断根是否在定义域内；若根不在定义域内会出现恒成立的情况；③若根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；2.若导函数是二次型,分类步骤是：①先判断二次型函数是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；②判断根是否在定义域内,若仅有一个根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；③若两个根都在定义域内,需要根据两个根的大小进行讨论,当根的大小确定后,再讨论每个单调区间上的单调性.3.若导函数是三角函数类型，需要借助三角函数的单调性及有界性进行讨论下面我们根据0fx的根的情况总结出11类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.类型一：fx定义域不是R,0fx可化为单根型一次方程思路：根据根是否在定义域内进行分类【例1】讨论1lnfxxax的单调性分析：0xafxxx,0fx根的情况转化为00xax根的情况资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据a是否在定义域0+，内进行分类答案：(1)0,0afx,fx在0+，上是增函数；(2)0a,fx在0,a上是减函数,在+a，上是增函数.类型二：fx定义域不是R,0fx可化为单根型类一次方程思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类【例2】讨论1ln+1fxaxax的单调性分析：10axafxxx,0fx根的情况转化为10axa在0+，上根的情况.步骤一：讨论=0a(无实根)；步骤二：讨论0a,由10axa得1axa(不在定义域内)；步骤三：讨论0a,根据1aa是否在定义域内再分01,1aa.答案：(1)0,0afx,fx在0+，上是减函数；(2)0,0afx,fx在0+，上是减函数；(3)0a(i)1a,0fx,fx在0+，上是增函数；(ii)01a,fx在10,aa上是减函数,在1+aa，上是增函数.类型三：fx定义域为R,0fx可化为单根型类二次（或高次）方程思路：根据x的系数符号进行分类【例3】讨论4321111432fxaxxaxx的单调性分析：211fxxax,因为210x,0fx根的情况转化为10ax根的情况,资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】步骤一：讨论0a；步骤二：讨论0a,注意此时110ax；步骤三：讨论0a,注意不等式两边除以a,不等式要改变方向.答案：(1)0a时fx在1,a上递增,在1,a上递减；(2)0a时fx在,上递减；(3)0a时fx在1,a上递减,在1,a上递增.类型四：fx定义域不是R,0fx可化为单根型二次方程思路：根据方程的根是否在定义域内进行分类【例4】讨论1ln1afxxaxx的单调性分析：210xxafxxx,因为10x,0fx根的情况转化为0xa在0+，上根的情况.步骤一：讨论0a(0xa无实根)；步骤二：讨论0a,由0xa得xa；答案：(1)0,0afx,fx在0+，上是增函数；(2)0a,xa,0fx,fx在,a上是增函数；xa,0fx,fx在0,a上是减函数.类型五：fx定义域为R,0fx可化为双根型二次方程思路：根据根的大小进行分类【例5】讨论2exfxxaxa的单调性分析：2exfxxxa,0fx根的情况转化为20xxa的根的情况,根据a与2的大小进行讨论.步骤一：讨论2a；步骤二：讨论2a,注意此时2220xxax；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】步骤三：讨论2a.答案：(1)2,afx在,2,,a上是增函数,在2,a上是减函数；(2)=2a,fx在+-，上是增函数；(3)2a,fx在,,2,a上是增函数,在,2a上是减函数.类型六：fx定义域不是R,0fx可化为双根型二次方程思路：根据根是否在定义域内及根的大小进行分类【例6】讨论2211ln2afxxxxa的单调性分析：10xaxafxxx,0fx根的情况转化为10xaxa在0+，上根的情况.步骤一：讨论0a(根不在定义域内).步骤二：讨论0a(根据1,aa的大小再分01,1,1aaa)答案：(1)0a,fx在+0，上是增函数；(2)01,afx在10,,,aa上是增函数,在1,aa上是减函数；(3)=1a,fx在+0，上是增函数；(4)1a,fx在10,,,aa上是增函数,在1,aa上是减函数.类型七：fx定义域是R,0fx可化为双根型类二次方程思路：根据根的个数及根的大小进行分类【例7】讨论32312afxaxxx的单调性分析：311fxxax,0fx根的情况转化为3110xax根的情况.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】步骤一：讨论0a(10ax无实根)；步骤二：讨论0a,此时113a；步骤三：讨论0a(根据11,3a的大小再分03,3,3aaa)答案：(1)0a,fx在130，上是增函数,在1,3上是减函数；(2)0,afx在110,,,3a上是减函数,在11,3a上是增函数；(3)03,afx在110,,,3a上是增函数,在11,3a上是减函数；(4)=3a,fx在+-，上是增函数；(5)3a,fx在110,,,3a上是增函数,在11,3a上是减函数.提醒：对于类二次方程,不要忽略对2x项的系数为零的讨论类型八：fx定义域不是R,0fx可化为双根型类二次方程思路：根据根是否在定义域内、根的个数及根的大小进行分类【例8】讨论211ln2fxaxaxx的单调性分析：11=0xaxfxxx,0fx根的情况转化为11=00xaxx根的情况.步骤一：讨论=0a(有1个根).步骤二：讨论0a(1a不在定义域内)步骤三：讨论0a(11a，均在定义域内,根据11,a的大小再分01,1,1aaa)答案：(1)0a,fx在0,1上是增函数,在1+，上是减函数；(步骤一二合并)(2)01,afx在10,1,,a上是增函数,在11,a上是减函数；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)=1a,fx在+0，上是增函数；(4)1a,fx在10,,1,a上是增函数,在1,1a上是减函数.类型九：0fx先化为指数型方程,再通过拟合化为一次（或类一次）或二次（或类二次）方程【例9】讨论212e12xfxaxx的单调性分析：1e1xfxxa,0fx根的情况转化为1e1=0xxa根的情况.步骤一：讨论0a(有1个根).步骤二：讨论0a,1e1xfxxa的拟合函数为1lnyxxa(根据1,lna的大小再分1110,,eeeaaa)答案：(1)0a,fx在,1-上是增函数,在1+，上是减函数；(2)10,eafx在,1,ln,a上是增函数,在1,lna上是减函数；(3)1=ea,fx在+-，上是增函数；(4)1ea,fx在,ln,1,a上是增函数,在ln,1a上是减函数.类型十：0fx先化为对数型方程,再通过拟合化为一次（或类一次）或二次（或类二次）方程【例10】讨论2212ln212fxxaxxxax的单调性分析：ln0fxxaxx的拟合函数为1xax(根据a与0,1大小分类)步骤一：讨论0a(0xa).步骤二：讨论0a,(再分01,1,1aaa)答案：(1)0a,fx在0,1上是减函数,在1+，上是增函数；(2)01,afx在0,,1,a上是增函数,在,1a上是减函数；(3)=1a,fx在+0，上是增函数；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(4)1a,fx在0,1,,a上是增函数,在1,a上是减函数.类型十一：导函数为三角函数类型【例10】判断esin12xfxxaxa在0,上的单调性分析：步骤一：ecosxfxxa，步骤二：令()ecosxgxxa，()esinxgxx，步骤三：利用弦函数有界性得()esin0xgxx，步骤四：()gx为增函数，()ecos(0)20xgxxaga．答案：fx在0,上单调递增.三、典例展示【例1】（2024届重庆市南开中学校高三上学期7月月考）已知函数1loglnafxxax，其中0a且1a.(1)讨论fx的单调性；(2)0x，有0fx，求证：13e2fa.【解析】（1）2211lnlnlnxafxxaxxa，0x当01a时，ln0a，可得0fx，所以fx在0,上单调递减，当1a时，ln0a，0lnfxxa，故fx在0,lna单调递减，在ln,a单调递增.（2）①当01a时，fx在0,上单减，因为ln0a，故ln111aaa，所以ln1ln1ln1ln111logln10aaaaafaaaaa，不符题意，故舍去.（也可用x时，fx，舍去）②当1a时，fx在0,lna单减，ln,a单增，minlnfxfa，故lnln11lnloglnlnln0lnlnlnaafaaaaaaa，令ln0ta，则有ln10tttt，令