专题11 常见函数模型中的应用（原卷版）

专题11常见函数模型的应用一、考情分析有一些常见的函数，如ln1,e1xyxxyx等，在导数解答题常常出现其身影，在导数解答题中或利用其性质进行求解，或以其为模型进行改编命题，无论以哪一种方式命题，掌握这些函数的性质，并有目的的使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思想，并使问题得以解决.二、解题秘籍(一)常见对数型函数模型1.函数ln1fxxx在1,0上是增函数，在0,是减函数，fx在0x处取得最大值0，2.lnfxx的图象与直线1yx在1x相切，以直线1yx为切线的函数有：lnyx，1e1xy，2yxx，11yx，lnyxx.3.与对数型函数有关的常见不等式有：1ln1,ln1,ln1,ln,lnxxxxxxxxxx，11ln12xxxx，11ln2xxx01x.4.利用ln1xx可得到1ln1lnnnn，再借助叠加法可得到一些复杂的数列不等式.【例1】（2024届四川省江油中学高三上学期9月月考）已知函数()ln1,Rfxxaxa.(1)当0a时，求函数()fx在区间1,e上的最大值；(2)若0x为函数()[()ln2]gxxfxx的极值点，求证：0202e1xax【解析】（1）()ln1fxxax定义域为(0,)，则11()axfxaxx，当0a时，1()00fxxa，1()0fxxa，所以()fx单调递增区间为1(0,)a，单调递减区间为1(,)a；若101a，即1a时，fx在1,e上单调递减，故max()(1)1fxfa；若11ea，即11ea时，fx在11,a上单调递增，在1,ea上单调递减，故max1()()lnfxfaa；若1ea，即10ea时，则fx在1,e上单调递增，故max()(e)2efxfa.所以，max1,11ln,1e12e,0eaafxaaaa；（2）2()[()ln2]2lngxxfxxxxaxx（Ra），则()2ln21gxxax，因为0x是函数()gx的极值点，所以002ln210xax，即002ln12xax，要证0202e1xax，只需证00002lne1xxxx，即证：0000e2ln1xxxx，令()ln1mxxx，则1()xmxx，当01x时，()0mx，()mx单调递增；当1x时，()0mx，()mx单调递减；所以()(1)0mxm，即：ln1xx，所以1exx，所以e1xx，①当001x时，因为00e1xx，002ln0xx，所以0000e2ln1xxxx.②当01x时，因为ln1xx，所以0000ln(1)xxxx，所以00002ln2(1)xxxx，要证0000e2ln1xxxx，只需证0200000e12(1)21xxxxxx，即证0200211exxx对任意的01x恒成立，令221()exxxhx（1x），则2252(2)(21)()eexxxxxxhx，当12x时，()0hx，()hx单调递增；当2x时，()0hx，()hx单调递减，所以27()(2)1ehxh，即当01x时，0000e2ln1xxxx成立.综上：原不等式成立.(二)常见指数型函数模型1.函数e1xfxx在,0上是减函数，在0,上是增函数，fx在0x处取得最小值0，2.与对数型函数有关的常见不等式有：e1,e,eexxxxxx，11e0,e01xxxxxx，21e102xxxx.【例2】（2024届黑龙江省哈尔滨市高三上学期9月月考）已知函数2exfxax．(1)若函数fx的图象与直线1yx相切，求实数a的值；(2)若函数1gxfxx有且只有一个零点，求实数a的取值范围．【解析】（1）设直线1yx与函数fx的图象相切于点00,xy，因为e2xfxax,所以00000200e211=exxaxyxyax①②③，由②③可得0200e1xaxx④，易知00x.由①得00e12xax，代入④可得002000e1e12xxxxx，即000002ee22xxxxx，即0002e2xxx，解得02x.故22e1e1224a.（2）令10gxfxx，可得21e0xaxx，由题意可得21e0xaxx只有一个根.易知0x不是方程21e0xaxx的根，所以0x，所以由21e0xaxx，可得2e1xxax.设2e1xxhxx，则ya与2e1xxhxx的图象只有一个交点.24e12e1xxxxxhxx3e12xxx，当,0x时，0hx，函数hx单调递增；当0,2x时，0hx，函数hx单调递减；当2,x时，0hx，函数hx单调递增.设e1xxtx，则e1xtx，当,0x时，0tx，函数tx单调递减；当0,x时，0tx，函数tx单调递增.所以02txt.所以210exxhxx.又222e21e1224h，0x时，hx，x时，hx，画出函数hx的图象如图所示：由图可知，若ya与2e1xxhxx的图象只有一个交点，则2e104a.所以实数a的取值范围是2e10,4.(三)常见三角函数模型1.函数sinfxxx在0,上是减函数，函数21cos2gxxx在0,上是增函数gxfx，2.与三角函数有关的常见不等式有：sin0xxx，πsintan0,2xxxx21sin2xxx，211cos2xx211sin2x.【例3】（2023届四川省成都市高三上学期摸底）已知函数21cos2fxxx．(1)记函数fx的导函数是fx．证明：当0x时，0fx；(2)设函数sincos22exxxxgx，Fxafxgx，其中0a．若0为函数Fx存在非负的极小值，求a的取值范围．【解析】(1)sinfxxx．令hxfx，则1coshxx．∵cos1,1x，∴0hx恒成立，即fx在R上为增函数．∵0x，∴00sin00fxf．∴0fx．(2)2sin2sinsineexxxxFxafxgxaxxxxa．由（1）知fx在R上为增函数．∴当0x时，有00fxf，即sin0xx；当0x时，有00fxf，即sin0xx．当0a时，由0Fx，解得10x，22lnxa，且2exya在R上单调递减．①当20a时，20x．∵当0x时，有0Fx；当20xx时，有0Fx；当2xx时，有0Fx，∴函数Fx在,0上为减函数，在20,x上为增函数，在2,x上为减函数．∴满足0为函数Fx的极小值点；②当2a时，20x．∴xR时，有0Fx恒成立，故Fx在R上为减函数．∴函数Fx不存在极小值点，不符合题意；③当2a时，20x．∵当2xx时，有0Fx；当20xx时，有0Fx；当0x时，有0Fx，∴函数Fx在2,x上为减函数，在2,0x上为增函数，在0,上为减函数．∴0为函数Fx的极大值点，不符合题意．综上所述，若0为函数Fx的极小值点，则a的取值范围为2,0．(四)lnxyx或lnxyx.lnxyx在0,e上是增函数，在e,上是减函数，ex时取得最大值1e，利用lnxyx性质解题易错点是该在e,上是减函数，但该函数在e,上没有零点，因为ex时0y.【例4】（2024届海南省定安县高三上学期开学考试）已知函数ln2fxxax.(1)若1x是()fx的极值点，求a的值；(2)若a=1，讨论函数()fx的单调性；(3)若()0fx恒成立，求a的取值范围；【解析】（1）由ln2fxxax，得1122axfxaxx，因为1x是()fx的极值点，所以()01f，即120a，所以12a，经检验符合题意.（2）若a=1，11220,,xfxxxx.当120x，即12x时，120xfxx，所以fx在1,2上单调递减；当10,2x时，120xfxx；在10,2上单调递增，所以fx在10,2上单调递增，在1,2上单调递减，（3）()fx的定义域为(0,)，若()0fx恒成立，则ln20xax恒成立，即ln2xax恒成立，令ln()xgxx，只需max2()agx，又22(ln)ln1ln()xxxxxgxxx，令()0gx得ex，(0,e)x时，()0gx，则ln()xgxx单调递增；(e,)x时，()0gx，则ln()xgxx单调递减；所以max12()(e)eagxg，解得：12ea；(五)exyx或exxy讨论exyx的性质要注意0x，该在,0和0,1单调递减，在1,单调递增【例5】设函数e1,0,1xfxtatxaRt，其中e是自然对数的底数，2.71828e.(1)若exfx在0,上恒成立，求实数a的取值范围；(2)当12t时，若函数fx有两个零点，求实数a的取值范围.【解析】(1)解：因为exfx在0,上恒成立，即0e1xtax，又0,1t，故10t，所以只需e0xax恒成立，故只需exax，令e()xgxx，2e(1)()xxgxx，当0,1x时，()0gx，当1,x时，()0gx，所以min()(1)egxg，故ea，即e,a.(2)当12t时,e1122xfxax，当0x时，1002f，当0x时，令0fx，分离参数得exax，由（1）得e()xgxx，在,0和0,1单调递减，在1,单调递增，可得图像为：所以ea，即ea,即,ea.三、典例展示【例1】（2024届河南省部分名校高三上学期核心模拟）已知函数2()ln()fxaxxaxR.(1)当1a时，求()fx的单调区间;(2)若12fxfx,当212axxx时,证明:121221axxaxxa.【解析】（1）()fx的定义域为(0,),当1a时,2()lnfxxxx,所以2222122(2)(1)()1(0)xxxxfxxx