专题3 用导数研究函数的极值（原卷版）

专题3用导数研究函数的极值一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点,研究函数的极值是导数在函数中的一个重要应用,也是高考考查的重点,本专题从求函数的极值、确定函数极值点的个数、由函数极值点个数确定参数范围、含参数的函数极值的讨论、由极值点满足条件求解不等式问题等几个方面帮助高三学生把握极值问题求解问题.二、解题秘籍(一)求函数的极值1.函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′(a)＝0,而且在点x＝a附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′(b)＝0,而且在点x＝b附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.2.求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号.如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值；如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.3.对极值理解：(1)极值点不是点,注意极值与极值点的区别；(2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值．(3)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大,在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小,在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值,在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值,极大值与极小值没有必然的联系,即极小值不一定比极大值小,极大值不一定比极小值大；(4)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点,可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点,也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0,即x＝0是f(x)＝x3的驻点,但从f(x)在(－∞,＋∞)上为增函数可知,x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0,则x0不一定是极值点,即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件,函数y＝f′(x)的变号零点,才是函数的极值点；(5)函数f(x)在［a,b］上有极值,极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地,当函数f(x)在［a,b］上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在［a,b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．【例1】(2024届四川省叙永第一中学高三上学期入学考试)已知函数e()xafxx,其中0x,0a.(1)当1a时,求函数()fx的极值；(2)若方程()lnefxxax恰有两个不相等的实数根,求a的取值范围.【解析】（1）当1a时,e()xfxx,2e(1)()xxfxx.0x,当01x时,()0fx；当1x时,()0fx.函数()fx单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,).()fx的极小值为(1)ef,无极大值.（2）0x,0a,由方程()lnefxxax,得lelnenlneexxxaaaxxx,令e0xatx,则lnett.令()lnethtt,则11()ehtt.当0et时,()0ht；当et时,()0ht.函数()ht在(0,e)上单调递增,在(e,)上单调递减.eh0,方程lnett有唯一解et.方程elnexaxaxx有两个不等的实数解等价于方程eexax有两个不相等的实数解.等价于方程ln1axx有两个不相等的实数解.构造函数()ln1kxaxx,则()1akxx.0a,当0xa时,()0kx；当xa时,()0kx.函数()kx在(0,)a上单调递增,在(,)a上单调递减.0x,()kx；x,()kx.只需要ln10kaaaa,即1ln10aa.构造函数1()ln1maaa,则211()maaa.当01a时,ma0；当1a时,ma0.函数ma在0,1上单调递减,在(1,)上单调递增.10m,当1a时,1ln10aa恒成立.a的取值范围为(0,1)(1,).(二)函数极值点的个数问题可导函数fx的极值点的个数,通常转化为方程0fx实根个数,再根据fx的单调性或图象求解,求解时要注意0fx是0x的必要不充分条件.可导函数()fx在点0x处取得极值的充要条件是：0x是导函数的变号零点,即0()0fx,且在0x左侧与右侧,()fx的符号异号．另外,不可导函数也会有极值,如函数()fxx,在极小值点00x是不可导的.【例2】（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数32()2e(R)xfxaxxa.(1)当1a时,求()fx的单调区间；(2)求证：当0a时,函数()fx有三个不同的极值点.【解析】（1）当1a时,32()2exfxxx,3232234e254exxfxxxxxxxx254e14exxxxxxxx,所以在区间,4,1,0,0,fxfx单调递增,在区间4,1,0,,0,fxfx单调递减.所以fx的增区间为,4,1,0；减区间为4,1,0,.（2）依题意32()2e(0)xfxaxxa,32232234e324exxfxaxxaxxaxaxx2324exxaxax,对于函数23240gxaxaxa,2040,32160gaa,所以gx有两个零点,设为12,xx,则1240xxa,不妨设120xx,所以在区间12,,0,,0,xxfxfx单调递减；在区间12,0,,,0,xxfxfx单调递增,所以fx有三个不同的极值点13,0,xx.(三)由函数极值点个数确定参数范围此类问题一般是先把问题转化为0fx实根个数问题,可借助图象分析,若0fx可化为二次方程问题,可利用二次方程根的分布求解.【例3】（2024届福建省龙岩市上杭县高三第一次月考）已知函数313fxaxx.(1)求函数fx的单调区间；(2)设2e2cosxgxfxx有两个极值点1x、2x,且12xx.（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：128gxgx.【解析】（1）解：因为313fxxax,该函数的定义域为R,且2fxxa.①当0a时,对任意的xR,20fxxa,则函数fx的增区间为,；②当a0时,由0fx可得axa,由()0fx¢可得xa或xa,此时,函数fx的减区间为,aa,增区间为,a、,a.综上所述,当0a时,函数fx的增区间为,；当a0时,函数fx的减区间为,aa,增区间为,a、,a.（2）解：（i）312e2cos2e2cos3xxgxfxxaxxx有两个极值点1x、2x,则22e2sinxgxaxx,令0gx,可得22e2sinxaxx,由题意可知,直线ya与函数hx的图象有两个公共点（非切点）,令22e2sinxhxxx,则22e2cosxhxxx,令22e2cosxpxxx,则2e22sin2e0xxpxx,所以,函数hx在,上为增函数,当0x时,00hxh；当0x时,00hxh.所以,函数hx的减区间为,0,增区间为0,.所以,函数hx在0x取得最小值,即min02hxh,如下图所示：由图可知,当2a时,即当2a时,直线ya与函数hx的图象有两个公共点（非切点）,且当1xx或2xx时,22e2sin0xgxxxahxa,此时函数gx单调递增,当12xxx时,22e2sin0xgxxxahxa,此时函数gx单调递减,故当2a时,函数gx有两个极值点.因此,实数a的取值范围是,2；证明：（ii）因为12xx,由（i）可知120xx,且函数gx的增区间为1,x、2,x,减区间为12,xx,令2e2e4cosxxpxgxgxx,其中0x,则2e2e4sinxxpxx,令2e2e4sinxxtxx,则2e2e4cos4ee4cos44cos0xxxxtxxxx,所以,函数px在0,上为增函数,故当0x时,08pxp,因为20x,则2228pxgxgx,又当0x时,1maxgxgx,因为1x、2,0x,则21gxgx,所以,12228gxgxgxgx.(四)含参数的函数极值的讨论求含参数函数fx的极值,通常转化为不等式0fx或0fx的解集问题,求解时要注意对参数进行分类讨论.【例4】（2023届河南省郑州市等3地高三下学期6月冲刺卷）函数122lnfxaxxaxR,1121lnxgxxx．(1)讨论fx的极值的个数；(2)若0fxgx在1,x上恒成立,求a的取值范围．【解析】（1）122lnfxaxxaxR定义域为0,,222212212axxfxaxxx,令2221hxaxx,当a＝0时,221xfxx,fx在10,2上单调递增,在1,2上单调递减,所以fx有一个极大值；当0a时,①0a,hx为图象开口朝下的二次函数,480a,∴0hx的两根为24811242aaxaa,显然11202aa,11202aa,∴fx在1120,2aa上单调递增,在112,2aa上单调递减,所以fx有一个极大值；②102a,可知11202aa,∴fx在1120,2aa,112,2aa上单调递增,在112112,22aaaa上单调递减．所以fx有2个极值,一个极大值,一个极小值；③12a时,可得0fx,∴fx在0,上单调递增,所以fx无极值．综上所述,当0a时,fx有一个极大值；当102a时,fx有一个极大值,一个极小值；当12a时,fx无极值．（2）设21ln1xFxxx,1x,