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学科网（北京）股份有限公司1专题03函数的概念与性质目录一览2023真题展现考向一函数的奇偶性考向二函数单调性考向三指数函数与对数函数大小比较真题考查解读近年真题对比考向一．函数的最值及其几何意义考向二．函数奇偶性考向三抽象函数及其应用考点四指数函数与对数函数大小比较命题规律解密名校模拟探源十三种题型60题易错易混速记/二级结论速记考向一函数的奇偶性1．（2023•新高考Ⅱ•第4题）若f（x）＝（x+a）𝑙𝑛2𝑥−12𝑥+1为偶函数，则a＝（）A．﹣1B．0C．12D．1【答案】B解：由2𝑥−12𝑥+1＞0，得x＞12或x＜−12，由f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），得（﹣x+a）ln−2𝑥−1−2𝑥+1=（x+a）𝑙𝑛2𝑥−12𝑥+1，即（﹣x+a）ln2𝑥+12𝑥−1=（﹣x+a）ln（2𝑥−12𝑥+1）﹣1＝（x﹣a）ln2𝑥−12𝑥+1=（x+a）𝑙𝑛2𝑥−12𝑥+1，学科网（北京）股份有限公司2∴x﹣a＝x+a，得﹣a＝a，得a＝0．考向二函数单调性2．（2023•新高考Ⅰ•第4题）设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．（0，2]D．[2，+∞）【答案】D．解：设t＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，对称轴为x＝，抛物线开口向上，∵y＝2t是t的增函数，∴要使f（x）在区间（0，1）单调递减，则t＝x2﹣ax在区间（0，1）单调递减，即≥1，即a≥2，故实数a的取值范围是[2，+∞）．考向三指数函数与对数函数大小比较3．（2023•新高考Ⅰ•第10题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg𝑝𝑝0，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（）A．p1≥p2B．p2＞10p3C．p3＝100p0D．p1≤100p2【答案】ACD解：由题意得，60≤20lg𝑝1𝑝0≤90，1000p0≤p1≤1092p0，50≤20lg𝑝2𝑝0≤60，1052p0≤p2≤1000p0，20lg𝑝3𝑝0=40，p3＝100p0，可得p1≥p2，A正确；p2≤10p3＝1000p0，B错误；p3＝100p0，C正确；p1≤1092p0＝100×1052p0≤100p2，p1≤100p2，D正确．学科网（北京）股份有限公司3【命题意图】考查函数的性质：对称性、周期性、单调性，考查化归与转化思想，考查逻辑推导与计算素养．【考查要点】函数的图象与性质是高考常考查的热点之一．考查函数的定义域、值域、图象，函数的对称性、周期性、单调性．【得分要点】一．函数奇偶性的性质与判断（1）如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．（2）如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．二.函数的单调性判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．三、指对幂函数的大小比较方法一：运用函数的单调性比较1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f（）外衣”比较大小；2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小.方法二：因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者-1）比较大小.方法三：寻找中间变量是属于难点，可以适当的总结积累规律1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间学科网（北京）股份有限公司42.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值方法四：作差法、作商法1.一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小2.作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解方法五：利用对数运算分离常数比大小这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数据，转化为某一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小方法六：构造函数学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练.构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律.方法七：放缩法1、对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数2、指数和幂函数结合来放缩。3、利用均值不等式等不等关系放缩方法八：“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以以该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙卷第12题即是此思维.考向一．函数的最值及其几何意义1．（2021•新高考Ⅰ）函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为．【答案】1【解答】解：法一、函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的定义域为（0，+∞）．当0＜x时，f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx＝﹣2x+1﹣2lnx，此时函数f（x）在（0，]上为减函数，当x＞时，f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx＝2x﹣1﹣2lnx，则f′（x）＝＝，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∵f（x）在（0，+∞）上是连续函数，学科网（北京）股份有限公司5∴当x∈（0，1）时，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增．∴当x＝1时f（x）取得最小值为f（1）＝2×1﹣1﹣2ln1＝1．故答案为：1．法二、令g（x）＝|2x﹣1|，h（x）＝2lnx，分别作出两函数的图象如图：由图可知，f（x）≥f（1）＝1，则数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为1．考向二．函数奇偶性2．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）：．①f（x1x2）＝f（x1）f（x2）；②当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；③f′（x）是奇函数．【答案】f（x）＝x2．．解：f（x）＝x2时，；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＝2x＞0；f′（x）＝2x是奇函数．故答案为：另解：幂函数f（x）＝xa（a＞0）即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，综上所述，取f（x）＝x2即可．3．（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，则a＝．【答案】1解：函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，y＝x3为R上的奇函数，故y＝a•2x﹣2﹣x也为R上的奇函数，所以y|x＝0＝a•20﹣20＝a﹣1＝0，所以a＝1．法二：因为函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，学科网（北京）股份有限公司6所以f（﹣x）＝f（x），即﹣x3（a•2﹣x﹣2x）＝x3（a•2x﹣2﹣x），即x3（a•2x﹣2﹣x）+x3（a•2﹣x﹣2x）＝0，即（a﹣1）（2x+2﹣x）x3＝0，所以a＝1．4．（2021•新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R（f（x）不恒为0），f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（）A．f（﹣）＝0B．f（﹣1）＝0C．f（2）＝0D．f（4）＝0【答案】B【解答】解：∵函数f（x+2）为偶函数，∴f（2+x）＝f（2﹣x），∵f（2x+1）为奇函数，∴f（1﹣2x）＝﹣f（2x+1），用x替换上式中2x+1，得f（2﹣x）＝﹣f（x），∴f（2+x）＝﹣f（x），f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），即f（x）＝f（x+4），故函数f（x）是以4为周期的周期函数，∵f（2x+1）为奇函数，∴f（1﹣2x）＝﹣f（2x+1），即f（2x+1）+f（﹣2x+1）＝0，用x替换上式中2x+1，可得，f（x）+f（2﹣x）＝0，∴f（x）关于（1，0）对称，又∵f（1）＝0，∴f（﹣1）＝﹣f（2+1）＝﹣f（1）＝0．考向三抽象函数及其应用5．（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（）A．﹣3B．﹣2C．0D．1【答案】A解：令y＝1，则f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1），∴f（x+3）＝﹣f（x），则f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），∴f（x）的周期为6，令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），解得f（0）＝2，学科网（北京）股份有限公司7又f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1，f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1，f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2，∴，∴＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝﹣3．考向四指数函数与对数函数大小比较6．（2022•新高考Ⅰ）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b【答案】C解：构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，则f'（x）＝，x＞0，当f'（x）＝0时，x＝1，0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝1，∴，（x＞0且x≠1），∴ln0.9＞1﹣＝﹣，∴﹣ln0.9＜，∴c＜b；∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴，∴0.1e0.1＜，∴a＜b；设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），则＝，令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），当0时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，学科网（北京）股份有限公司8当时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，∵h（0）＝0，∴当0＜x＜时，h（x）＜0，当0＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，∴g（0.1）＞g（0）＝0，∴0.1e0.1＞﹣ln0.9，∴a＞c，∴c＜a＜b．7．（2021•新高考Ⅱ）已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是（）A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．a＜b＜c【答案】C【解答】解：∵，，∴a＜c＜b．从近三年的新高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题。主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，预测2024高考仍将以函数的单调性，奇偶性、幂指对函数比较大小为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．一．函数的单调性及单调区间（共3小题）1．（2023•海淀区校级三模）下列函数中，在区间（﹣∞，0）上是减函数的是（）A．y＝x3B．C．D．y＝x﹣1【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x3，是幂函数，在R上为增函