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学科网（北京）股份有限公司1专题03函数的概念与性质目录一览2023真题展现考向一函数的奇偶性考向二函数单调性考向三指数函数与对数函数大小比较真题考查解读近年真题对比考向一．函数的最值及其几何意义考向二．函数奇偶性考向三抽象函数及其应用考点四指数函数与对数函数大小比较命题规律解密名校模拟探源十三种题型60题易错易混速记/二级结论速记考向一函数的奇偶性1．（2023•新高考Ⅱ•第4题）若f（x）＝（x+a）𝑙𝑛2𝑥−12𝑥+1为偶函数，则a＝（）A．﹣1B．0C．12D．1考向二函数单调性2．（2023•新高考Ⅰ•第4题）设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，0）C．（0，2]D．[2，+∞）考向三指数函数与对数函数大小比较3．（2023•新高考Ⅰ•第10题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg𝑝𝑝0，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：学科网（北京）股份有限公司2声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（）A．p1≥p2B．p2＞10p3C．p3＝100p0D．p1≤100p2【命题意图】考查函数的性质：对称性、周期性、单调性，考查化归与转化思想，考查逻辑推导与计算素养．【考查要点】函数的图象与性质是高考常考查的热点之一．考查函数的定义域、值域、图象，函数的对称性、周期性、单调性．【得分要点】一．函数奇偶性的性质与判断（1）如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．（2）如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．二.函数的单调性判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；⇔f（x）在[a，b]上是减函数．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．学科网（北京）股份有限公司3三、指对幂函数的大小比较方法一：运用函数的单调性比较1.对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f（）外衣”比较大小；2.有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数单调性对称性，以用于比较大小.方法二：因为幂指对函数的特殊性，往往比较大小，可以借助于临界值0与1（或者-1）比较大小.方法三：寻找中间变量是属于难点，可以适当的总结积累规律1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值方法四：作差法、作商法1.一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比大小2.作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧和方法解方法五：利用对数运算分离常数比大小这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数据，转化为某一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小方法六：构造函数学习和积累“构造函数比大小”，要先从此处入手，通过这个函数，学习观察，归纳，总结“同构”规律，还要进一步总结“异构”规律，为后续积累更复杂的“构造函数”能力做训练.构造函数，.观察总结“同构”规律，许多时候，三个数比较大小，可能某一个数会被刻意的隐藏了“同构”规律，所以可以优先从结构最接近的两个数规律.方法七：放缩法1、对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数2、指数和幂函数结合来放缩。3、利用均值不等式等不等关系放缩方法八：“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以以该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系，2021年全国卷乙卷第12题即是此思维.考向一．函数的最值及其几何意义1．（2021•新高考Ⅰ）函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为．考向二．函数奇偶性2．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）：．①f（x1x2）＝f（x1）f（x2）；②当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；③f′（x）是奇函数．3．（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，则a＝．学科网（北京）股份有限公司44．（2021•新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R（f（x）不恒为0），f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（）A．f（﹣）＝0B．f（﹣1）＝0C．f（2）＝0D．f（4）＝0考向三抽象函数及其应用5．（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（）A．﹣3B．﹣2C．0D．1考向四指数函数与对数函数大小比较6．（2022•新高考Ⅰ）设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b7．（2021•新高考Ⅱ）已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是（）A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．a＜b＜c从近三年的新高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题。主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，预测2024高考仍将以函数的单调性，奇偶性、幂指对函数比较大小为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．一．函数的单调性及单调区间（共3小题）1．（2023•海淀区校级三模）下列函数中，在区间（﹣∞，0）上是减函数的是（）A．y＝x3B．C．D．y＝x﹣12．（2023•扬中市校级模拟）若幂函数f（x）的图象过点，则函数的递减区间为（）A．（0，2）B．（﹣∞，0）和（2，+∞）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）3．（2023•浦东新区校级三模）定义在区间[1，+∞）上的函数f（x）的图像是一条连续不断的曲线，f（x）学科网（北京）股份有限公司5在区间[2k﹣1，2k]上严格增，在区间[2k，2k+1]上严格减，k为正整数．给出下列四个结论：①若{f（2k）}为严格增数列，则f（x）存在最大值；②若{f（2k+1）}为严格增数列，则f（x）存在最小值；②若f（2k）f（2k+1）＞0，且f（2k）+f（2k+1）存在最小值，则|f（x）|存在最小值；①若f（2k）f（2k+1）＜0，且f（2k）﹣f（2k+1）存在最大值，则|f（x）|存在最大值．其中所有错误结论的序号有．二．函数单调性的性质与判断（共6小题）4．（2023•西城区校级三模）在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（）A．f（x）＝tanxB．f（x）＝|x|C．f（x）＝2xD．f（x）＝x25．（2023•龙华区校级模拟）已知函数f（x）是（0，+∞）上的单调函数，且f（f（x）﹣x﹣log2x）＝5，则f（x）在[1，8]上的值域为（）A．[2，10]B．[3，10]C．[2，13]D．[3，13]6．（2023•西宁模拟）已知函数，对任意x1≠x2，都有成立，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，2]C．（0，1]D．（1，2）7．（2023•景德镇模拟）已知定义域为R的函数f（x）的图象是连续不断的曲线，对任意实数m，n均满足enf（m）+e2mf（n﹣m）＝emf（n），且当x＞0时，f（x）＞0．若g（x）＝，则下列判断正确的是（）A．g（1）＞g（0）B．g（3）＜g（﹣1）C．g（2）＜g（﹣1）D．g（3）＞g（﹣2）8．（2023•驻马店二模）已知f（x）是定义域为R的单调递增的函数，∀n∈N，f（n）∈N，且f（f（n））＝3n，则f（28）＝．9．（2023•杨浦区校级三模）已知函数，设xi（i＝1、2、3）为实数，且x1+x2+x3＝0，给出下列结论：①若x1•x2•x3＞0，则；②若x1•x2•x3＜0，则．则（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①②都正确D．①②都错误三．复合函数的单调性（共4小题）10．（2023•绍兴二模）下列函数在区间（0，2）上单调递增的是（）A．y＝（x﹣2）2B．C．y＝sin（x﹣2）D．y＝cos（x﹣2）学科网（北京）股份有限公司6（多选）11．（2023•渝中区校级模拟）若，其中e为自然对数的底数，则下列命题正确的是（）A．f（x）在（0，+∞）上单调递增B．f（x）在（0，+∞）上单调递减C．f（x）的图象关于直线x＝0对称D．f（x）的图象关于点（0，0）中心对称12．（2023•济宁一模）若函数f（x）＝loga（ax﹣x3）（a＞0且a≠1）在区间（0，1）内单调递增，则a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（1，3]C．D．13．（2023•安康一模）已知函数．（1）若f（1）＝3，求函数f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使函数f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．四．函数的最值及其几何意义（共9小题）14．（2023•兴庆区校级模拟）已知实数x，y满足2x2﹣5lnx﹣y＝0，m∈R，则的最小值为（）A．B．C．D．15．（2023•郑州模拟）已知函数f（x）＝a（3﹣x）+的图象过点（0，1）与，则函数f（x）在区间[1，4]上的最大值为（）A．B．C．D．16．（2023•芦溪县校级一模）关于“函数f（x）＝的最大、最小值与数列an＝的最大、最小项”，下列说法正确的是（）学科网（北京）股份有限公司7A．函数f（x）无最大、最小值，数列{an}有最大、最小项B．函数f（x）无最大、最小值，数列{an}无最大、最小项C．函数f（x）有最大、最小值，数列{an}有最大、最小项D．函数f（x）有最大、最小值，数列{an}无最大、最小项17．（2023•浦东新区二模）函数在区间上的最小值为．数，存在实数x1，x2，…，xn使得f（x1）+f（x2）+…+f（xn﹣1）＝f（xn）成立，若正整数n的最大值为6，则a的取值范围为（）A．B．C．D．19．（2023•烟台模拟）已知实数a，b满足a2+b2﹣4a+3＝0，则a2+（b+2）2的最大值为．20．（2023•香坊区校级模拟）已知实数x1，x2，y1，y2满足+＝4，+＝9，x1x2+y1y2＝0则|x1+y1﹣9|+|x2+y2﹣9|的最小值是．21．（2023•鲤城区校级模拟）设a，b∈R，c＞0，求的最小值．22．（2023•武功县校级模拟）已知函数f（x）＝2|x﹣1|+|2x+1|．（1）解不等式f（x）＜4；（2）已知f（x）的最小值为m，正实数a，b满足mab＝a+b，求a+3b的最小值．五．奇函数、偶函数（共3小题）学科网（北京）股份有限公司823．（2023•昌江县二模）已知f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（0，2）时，f（x）＝x2+2x，则f（15）＝（）A．3B．﹣3C．255D．﹣25524．（2023•茂南区校级三模）已知函数是偶函数，则a＝．25．（2023•肥西县模拟）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为，则＝．六．函数奇偶性的性质与判断（共4小题）26．（2023•郑州三模）已知函数