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学科网（北京）股份有限公司1专题04导数及其应用目录一览2023真题展现考向一导数与单调性考向二利用导数研究函数的极值、最值真题考查解读近年真题对比考向一导数的运算考向二利用导数研究函数的极值、最值考向三利用导数研究曲线上某点切线方程命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一导数与单调性1．（2023•新高考Ⅱ•第6题）已知函数f（x）＝aex﹣lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（）A．e2B．eC．e﹣1D．e﹣2【答案】C解：对函数f（x）求导可得，𝑓′(𝑥)=𝑎𝑒𝑥−1𝑥，依题意，𝑎𝑒𝑥−1𝑥≥0在（1，2）上恒成立，即𝑎≥1𝑥𝑒𝑥在（1，2）上恒成立，设𝑔(𝑥)=1𝑥𝑒𝑥，𝑥∈(1，2)，则𝑔′(𝑥)=−(𝑒𝑥+𝑥𝑒𝑥)(𝑥𝑒𝑥)2=−𝑒𝑥(𝑥+1)(𝑥𝑒𝑥)2，易知当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，则函数g（x）在（1，2）上单调递减，学科网（北京）股份有限公司2则𝑎≥𝑔(𝑥)𝑚𝑎𝑥=𝑔(1)=1𝑒=𝑒−1．故选：C．考向二导数与极值、最值2．（2023•新高考Ⅱ•第11题）（多选）若函数f（x）＝alnx+𝑏𝑥+𝑐𝑥2（a≠0）既有极大值也有极小值，则（）A．bc＞0B．ab＞0C．b2+8ac＞0D．ac＜0【答案】BCD解：函数定义域为（0，+∞）且f′（x）=𝑎𝑥−𝑏𝑥2−2𝑐𝑥3=𝑎𝑥2−𝑏𝑥−2𝑐𝑥3，由题意，方程f′（x）＝0即ax2﹣bx﹣2c＝0有两个正根，设为x1，x2，则有x1+x2=𝑏𝑎＞0，x1x2=−2𝑐𝑎＞0，Δ＝b2+8ac＞0，∴ab＞0，ac＜0，∴ab•ac＝a2bc＜0，即bc＜0．故选：BCD．【命题意图】考查原函数和导函数的关系，考查求导公式，导数几何意义及导数的应用，利用导数研究函数的单调性、极值最值、函数零点问题．体会数形结合思想，分类讨论思想，化归和转化思想．【考查要点】函数与导数是高考必考知识点，考查运用函数的导数解决问题：求切线方程、单调区间、极值最值、零点等．【得分要点】1.利用导数判断函数单调性：设函数()yfx在某个区间内可导，①'()0fx()fx该区间内为增函数；②'()0fx()fx该区间内为减函数；注意：当'()fx在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()fx在这个区间上仍是递增（或递减）的。③()fx在该区间内单调递增'()0fx在该区间内恒成立；④()fx在该区间内单调递减'()0fx在该区间内恒成立；学科网（北京）股份有限公司32.利用导数求极值：（1）定义：设函数()fx在点0x附近有定义，如果对0x附近所有的点，都有0()()fxfx，就说是0()fx函数()fx的一个极大值。记作y极大值＝0()fx，如果对0x附近所有的点，都有0()()fxfx，就说是0()fx函数()fx的一个极小值。记作y极小值＝0()fx。极大值和极小值统称为极值。（2）求函数()yfx在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数()fx；（ii）求方程()0fx的根0x；（iii）检查()fx在方程()0fx的根0x的左右的符号：“左正右负”()fx在0x处取极大值；“左负右正”()fx在0x处取极小值。特别提醒：①0x是极值点的充要条件是0x点两侧导数异号，而不仅是0fx＝0，0fx＝0是0x为极值点的必要而不充分条件。②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0fx，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！3.利用导数求最值：比较端点值和极值（1）定义：函数()fx在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数()fx在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。（2）求函数()yfx在[,ab]上的最大值与最小值的步骤：①求函数()yfx在（,ab）内的极值（极大值或极小值）；②将()yfx的各极值与()fa，()fb比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。考向一．导数的运算（多选）1．（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均为偶函数，则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）解：∵f（﹣2x）为偶函数，∴可得f（﹣2x）＝f（+2x），∴f（x）关于x＝对称，令x＝，可得f（﹣2×）＝f（+2×），即f（﹣1）＝f（4），故C正确；∵g（2+x）为偶函数，∴g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，故D不正确；∵f（x）关于x＝对称，∴x＝是函数f（x）的一个极值点，学科网（北京）股份有限公司4∴函数f（x）在（，t）处的导数为0，即g（）＝f′（）＝0，又∴g（x）的图象关于x＝2对称，∴g（）＝g（）＝0，∴函数f（x）在（，t）的导数为0，∴x＝是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x＝对称，∴（，t）关于x＝的对称点为（，t），由x＝是函数f（x）的极值点可得x＝是函数f（x）的一个极值点，∴g（）＝f′（）＝0，进而可得g（）＝g（）＝0，故x＝是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x＝对称，∴（，t）关于x＝的对称点为（﹣，t），∴g（﹣）＝f′（﹣）＝0，故B正确；f（x）图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故A错误．解法二：构造函数法，令f（x）＝1﹣sinπx，则f（﹣2x）＝1+cos2πx，则g（x）＝f′（x）＝﹣πcosπx，g（x+2）＝﹣πcos（2π+πx）＝﹣πcosπx，满足题设条件，可得只有选项BC正确，故选：BC．考向二利用导数研究函数的极值（多选）2．（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线解：f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＞0，解得或，令f′（x）＜0，解得，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，且，∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误；又f（x）+f（﹣x）＝x3﹣x+1﹣x3+x+1＝2，则f（x）关于点（0，1）对称，故选项C正确；假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），则，解得或，显然（1，2）和（﹣1，﹣2）均不在曲线y＝f（x）上，故选项D错误．学科网（北京）股份有限公司5故选：AC．考向三．利用导数研究曲线上某点切线方程3．（2022•新高考Ⅰ）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．解：y'＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y﹣（x0+a）＝（）（x﹣x0），又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）＝（）（﹣x0），整理得：，∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，∴Δ＝a2+4a＞0，解得a＜﹣4或a＞0，即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．4．（2022•新高考Ⅱ）曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，．解：当x＞0时，y＝lnx，设切点坐标为（x0，lnx0），∵y'＝，∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y﹣lnx0＝（x﹣x0），又∵切线过原点，∴﹣lnx0＝﹣1，∴x0＝e，∴切线方程为y﹣1＝，即x﹣ey＝0，当x＜0时，y＝ln（﹣x），与y＝lnx的图像关于y轴对称，∴切线方程也关于y轴对称，∴切线方程为x+ey＝0，综上所述，曲线y＝ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为x﹣ey＝0，x+ey＝0，故答案为：x﹣ey＝0，x+ey＝0．5．（2021•新高考Ⅰ）若过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则（）A．eb＜aB．ea＜bC．0＜a＜ebD．0＜b＜ea解：法一：函数y＝ex是增函数，y′＝ex＞0恒成立，函数的图象如图，y＞0，即切点坐标在x轴上方，如果（a，b）在x轴下方，连线的斜率小于0，不成立．学科网（北京）股份有限公司6点（a，b）在x轴或下方时，只有一条切线．如果（a，b）在曲线上，只有一条切线；（a，b）在曲线上侧，没有切线；由图象可知（a，b）在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知0＜b＜ea．故选：D．法二：设过点（a，b）的切线横坐标为t，则切线方程为y＝et（x﹣t）+et，可得b＝et（a+1﹣t），设f（t）＝et（a+1﹣t），可得f′（t）＝et（a﹣t），t∈（﹣∞，a），f′（t）＞0，f（t）是增函数，t∈（a，+∞），f′（t）＜0，f（t）是减函数，因此当且仅当0＜b＜ea时，上述关于t的方程有两个实数解，对应两条切线．故选：D．6．（2021•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝|ex﹣1|，x1＜0，x2＞0，函数f（x）的图象在点A（x1，f（x1））和点B（x2，f（x2））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是．【解答】解：当x＜0时，f（x）＝1﹣ex，导数为f′（x）＝﹣ex，可得在点A（x1，1﹣ex1）处的斜率为k1＝﹣ex1，切线AM的方程为y﹣（1﹣ex1）＝﹣ex1（x﹣x1），令x＝0，可得y＝1﹣ex1+x1ex1，即M（0，1﹣ex1+x1ex1），当x＞0时，f（x）＝ex﹣1，导数为f′（x）＝ex，可得在点B（x2，ex2﹣1）处的斜率为k2＝ex2，令x＝0，可得y＝ex2﹣1﹣x2ex2，即N（0，ex2﹣1﹣x2ex2），由f（x）的图象在A，B处的切线相互垂直，可得k1k2＝﹣ex1•ex2＝﹣1，即为x1+x2＝0，x1＜0，x2＞0，学科网（北京）股份有限公司7所以＝＝＝∈（0，1）．故答案为：（0，1）．从近三年的新高考试题来看，多集中于考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式证明等问题，常结合函数的零点、最值等问题综合考查，比如含函数单调性问题、恒成立问题等。复习时，重点把握导数的应用，加强导数与函数的单调性、导数与函数的极值，导数与函数的最值的认知，理解划归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用。一．变化的快慢与变化率（共2小题）1．（2023•河南模拟）某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15米．假设在该海湾某一固定点，大海水深d（单位：m）与午夜后的时间t（单位：h）之间的关系为d（t）＝10+4cost，则下午5：00时刻该固定点的水位变化的速度为（）A．B．C．D．【解答】解：由d（t）＝10+4cost，知d'（t）＝﹣sint，所以下午5：00时刻该固定点的水位变化的速度为d'（17）＝﹣sin（•17）＝﹣sin（5π+）＝﹣×（﹣）＝．故选：A．2．（2023•奉贤区校级三模）函数y＝x3在区间[0，2]的平均变化率与在x＝x0（0≤x0≤2）处的瞬时变化率相同，则正数x0＝．【解答】解：函数y＝x3在区间[0，2]的平均变化率为，y＝x3，则y'＝3x2，故函数y＝x3在x＝x0（0≤x0≤2）处的瞬时变化率为，由题意可知，，解得（负值舍去）．故答案为：．学科网（北京）股份有限公司8二．导数及其几何意义（共2小题）3．（2023•平顶山模拟）曲线在点处的切线的斜率为0，则实数a＝（）A．B．C．﹣1D．1【解答】解：由题可得，则，所以a＝1．故选：D．4．（2023•定西模拟）已知函数f（x）＝x2lnx的图象在（1，f（1））处的切线与直线x+ay﹣1＝0垂直，则实数a＝．【解答】解：由f（x）＝x2lnx得f′（x）＝2xlnx+x，所以f′（1）＝1，由于f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+ay﹣1＝0垂直，所以．故答案为