专题04 导数及其应用（原卷版）

学科网（北京）股份有限公司1专题04导数及其应用目录一览2023真题展现考向一导数与单调性考向二利用导数研究函数的极值、最值真题考查解读近年真题对比考向一导数的运算考向二利用导数研究函数的极值、最值考向三利用导数研究曲线上某点切线方程命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一导数与单调性1．（2023•新高考Ⅱ•第6题）已知函数f（x）＝aex﹣lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（）A．e2B．eC．e﹣1D．e﹣2考向二导数与极值、最值2．（2023•新高考Ⅱ•第11题）（多选）若函数f（x）＝alnx+𝑏𝑥+𝑐𝑥2（a≠0）既有极大值也有极小值，则（）A．bc＞0B．ab＞0C．b2+8ac＞0D．ac＜0【命题意图】考查原函数和导函数的关系，考查求导公式，导数几何意义及导数的应用，利用导数研究函数的单调性、极值最值、函数零点问题．体会数形结合思想，分类讨论思想，化归和转化思想．学科网（北京）股份有限公司2【考查要点】函数与导数是高考必考知识点，考查运用函数的导数解决问题：求切线方程、单调区间、极值最值、零点等．【得分要点】1.利用导数判断函数单调性：设函数()yfx在某个区间内可导，①'()0fx()fx该区间内为增函数；②'()0fx()fx该区间内为减函数；注意：当'()fx在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()fx在这个区间上仍是递增（或递减）的。③()fx在该区间内单调递增'()0fx在该区间内恒成立；④()fx在该区间内单调递减'()0fx在该区间内恒成立；2.利用导数求极值：（1）定义：设函数()fx在点0x附近有定义，如果对0x附近所有的点，都有0()()fxfx，就说是0()fx函数()fx的一个极大值。记作y极大值＝0()fx，如果对0x附近所有的点，都有0()()fxfx，就说是0()fx函数()fx的一个极小值。记作y极小值＝0()fx。极大值和极小值统称为极值。（2）求函数()yfx在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数()fx；（ii）求方程()0fx的根0x；（iii）检查()fx在方程()0fx的根0x的左右的符号：“左正右负”()fx在0x处取极大值；“左负右正”()fx在0x处取极小值。特别提醒：①0x是极值点的充要条件是0x点两侧导数异号，而不仅是0fx＝0，0fx＝0是0x为极值点的必要而不充分条件。②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0fx，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！3.利用导数求最值：比较端点值和极值（1）定义：函数()fx在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数()fx在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。（2）求函数()yfx在[,ab]上的最大值与最小值的步骤：①求函数()yfx在（,ab）内的极值（极大值或极小值）；②将()yfx的各极值与()fa，()fb比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。学科网（北京）股份有限公司3考向一．导数的运算（多选）1．（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均为偶函数，则（）A．f（0）＝0B．g（）＝0C．f（﹣1）＝f（4）D．g（﹣1）＝g（2）考向二利用导数研究函数的极值（多选）2．（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（）A．f（x）有两个极值点B．f（x）有三个零点C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线考向三．利用导数研究曲线上某点切线方程3．（2022•新高考Ⅰ）若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．4．（2022•新高考Ⅱ）曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，．5．（2021•新高考Ⅰ）若过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则（）A．eb＜aB．ea＜bC．0＜a＜ebD．0＜b＜ea6．（2021•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝|ex﹣1|，x1＜0，x2＞0，函数f（x）的图象在点A（x1，f（x1））和点B（x2，f（x2））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是．从近三年的新高考试题来看，多集中于考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式证明等问题，常结合函数的零点、最值等问题综合考查，比如含函数单调性问题、恒成立问题等。复习时，重点把握导数的应用，加强导数与函数的单调性、导数与函数的极值，导数与函数的最值的认知，理解划归与转化思学科网（北京）股份有限公司4想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用。一．变化的快慢与变化率（共2小题）1．（2023•河南模拟）某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15米．假设在该海湾某一固定点，大海水深d（单位：m）与午夜后的时间t（单位：h）之间的关系为d（t）＝10+4cost，则下午5：00时刻该固定点的水位变化的速度为（）A．B．C．D．2．（2023•奉贤区校级三模）函数y＝x3在区间[0，2]的平均变化率与在x＝x0（0≤x0≤2）处的瞬时变化率相同，则正数x0＝．二．导数及其几何意义（共2小题）3．（2023•平顶山模拟）曲线在点处的切线的斜率为0，则实数a＝（）A．B．C．﹣1D．14．（2023•定西模拟）已知函数f（x）＝x2lnx的图象在（1，f（1））处的切线与直线x+ay﹣1＝0垂直，则实数a＝．三．导数的运算（共3小题）5．（2023•大埔县三模）设函数f（x）在R上可导，且f（lnx）＝x+lnx，则f′（0）＝（）A．0B．1C．2D．36．（2023•湖北模拟）函数的导函数为（）A．B．C．D．7．（2023•南关区校级模拟）已知函数，其导函数记为f'（x），则f（389）+f'（389）+f（﹣389）﹣f'（﹣389）＝（）A．2B．﹣2C．3D．﹣3四．利用导数研究函数的单调性（共14小题）8．（2023•东莞市校级三模）已知，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞bB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．a＞b＞c学科网（北京）股份有限公司59．（2023•湖南模拟）函数f（x）的定义域为D，导函数为f′（x），若对任意x∈D，f′（x）＜f（x）成立，则称f（x）为“导减函数”．下列函数中，是“导减函数”的为（）A．y＝x2B．y＝cosxC．y＝logπxD．y＝2x10．（2023•辽阳二模）现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f'（x）的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率．函数f（x）＝3lnx的图象在（1，f（1））处的曲率为（）A．B．C．D．11．（2023•射洪市校级模拟）设函数f（x），g（x）在R的导函数存在，且f′（x）＜g′（x），则当x∈（a，b）时（）A．f（x）＜g（x）B．f（x）＞g（x）C．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）12．（2023•江宁区校级二模）若函数f（x）＝lnx与g（x）＝ax﹣1（a＞0）的图像有且仅有一个交点，则关于x的不等式f（x﹣3）＜a﹣3x﹣4的解集为（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（3，4）D．（3，5）13．（2023•浙江模拟）已知a，b，c∈（﹣1，0），且满足，则（）A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．a＜b＜c14．（2023•华龙区校级模拟）函数f（x）＝ln2x的图象与函数的图象交点的横坐标为x0，则＝（）A．﹣ln2B．﹣C．D．ln215．（2023•扬州三模）已知函数f（x）的导函数为g（x），f（x）和g（x）的定义域均为R，g（x）为偶函数，f（x）﹣ex﹣sinx也为偶函数，则下列不等式一定成立的是（）A．f（0）＝0B．g（0）＝0C．f（x）＜f（ex）D．g（x）＜g（ex）16．（2023•九江模拟）设函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x），且满足f（x）＞f′（x）+1，f（0）＝2023，则不等式e﹣xf（x）＞e﹣x+2022（其中e为自然对数的底数）的解集是（）A．（2022，+∞）B．（﹣∞，2023）C．（0，2022）D．（﹣∞，0）17．（2023•邵阳三模）定义在R上的可导函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）＝x（ex+e﹣x），且在（0，+∞）学科网（北京）股份有限公司6上有，若实数a满足f（2a）﹣f（a+2）﹣2ae﹣2a+ae﹣a﹣2+2e﹣a﹣2≥0，则a的取值范围为（）A．B．a≥2C．或a≥2D．a≤218．（2023•安徽模拟）设5a+1＝5ln5，b+e﹣3＝3，，则（）A．b＜c＜aB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a19．（2023•驻马店三模）设，则（）A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．a＞c＞bD．c＞a＞b20．（2023•海淀区校级三模）已知函数f（x）＝x﹣asinx在R上不是单调函数，且其图象完全位于直线x﹣y﹣3＝0与x﹣y+4＝0之间（不含边界），则a的一个取值为．21．（2023•吕梁三模）若a＝e0.7，b＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞bB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．b＞c＞a五．函数在某点取得极值的条件（共1小题）22．（2023•常德二模）已知函数f（x）＝ax3+x2﹣ax（a∈R，且a≠0）．如果存在实数a∈（﹣∞，﹣1]，使函数g（x）＝f（x）+f′（x），x∈[﹣1，b]（b＞﹣1）在x＝﹣1处取得最小值，则实数b的最大值为．六．利用导数研究函数的极值（共10小题）23．（2023•禅城区模拟）已知函数f（x）＝x2﹣4x﹣a（ex﹣2+e﹣x+2）有唯一零点，则a＝（）A．﹣B．﹣2C．D．224．（2023•金凤区校级一模）已知函数的极值点为x1，函数的最大值为x2，则（）A．x2＞x1B．x2≥x1C．x1＞x2D．x1≥x225．（2023•阜新模拟）已知函数，则f（x）的极大值为（）A．﹣3B．1C．27D．﹣526．（2023•石嘴山一模）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（0，2）D．（2，+∞）27．（2023•翠屏区校级模拟）若函数f（x）＝x（x+a）2在x＝1处有极大值，则实数a的值为（）A．1B．﹣1或﹣3C．﹣1D．﹣3学科网（北京）股份有限公司728．（2023•烟台模拟）若函数有两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）≤﹣5，则（）A．B．C．D．29．（2023•武威模拟）若函数f（x）＝（x﹣1）2+alnx有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．30．（2023•洪山区校级模拟）已知函数f（x）＝axex﹣ax+a﹣ex（a＞0），若有且仅有两个整数xi（i＝1，2），满足f（xi）＜0，则实数a的取值范围为．31．（2023•镇安县校级模拟）函数在x＝2处取得极小值，且极小值为．32．（2023•云南模拟）若函数f（x）＝alnx+bx在x＝1处取得极值3，则b﹣a＝．七．利用导数研究函数的最值（共8小题）33．（2023•泸县校级模拟）若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则a的值为（）A．2B．1C．3D．534．（2023•松江区二模）已知函数，a∈R，在区间（t﹣3，t+5）上有最大值，则实数t的取值范围是（）A．﹣6＜t＜0B．﹣6＜t≤0C．﹣6＜t＜2D．﹣6＜t≤235．（2023•北流市模拟）已知x＝1为函数的极值点，则f（x）在区间上的最大值为（）（注：ln2≈0.6