专题07 数列（解析版）

资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1专题07数列目录一览2023真题展现考向一等差数列考向二等比数列考向三数列综合真题考查解读近年真题对比考向一等差数列考向二数列递推公式考向三数列的求和考向四数列综合命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一等差数列1．（2023•新高考Ⅰ•第7题）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{𝑆𝑛𝑛}为等差数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C解：若{an}是等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，则Sn＝na1+𝑛(𝑛−1)2d，即𝑆𝑛𝑛=a1+𝑛−12d=𝑑2n+a1−𝑑2，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】2故{𝑆𝑛𝑛}为等差数列，即甲是乙的充分条件．反之，若{𝑆𝑛𝑛}为等差数列，则可设𝑆𝑛+1𝑛+1−𝑆𝑛𝑛=D，则𝑆𝑛𝑛=S1+（n﹣1）D，即Sn＝nS1+n（n﹣1）D，当n≥2时，有Sn﹣1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D，上两式相减得：an＝Sn﹣Sn﹣1＝S1+2（n﹣1）D，当n＝1时，上式成立，所以an＝a1+2（n﹣1）D，则an+1﹣an＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常数），所以数列{an}为等差数列．即甲是乙的必要条件．综上所述，甲是乙的充要条件．考向二等比数列2．（2023•新高考Ⅱ•第8题）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（）A．120B．85C．﹣85D．﹣120【答案】C解：等比数列{an}中，S4＝5，S6＝21S2，显然公比q≠1，设首项为a1，则𝑎1(1−𝑞4)1−𝑞=−5①，𝑎1(1−𝑞6)1−𝑞=21𝑎1(1−𝑞2)1−𝑞②，化简②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合题意，舍去），代入①得𝑎11−𝑞=13，所以S8=𝑎1(1−𝑞8)1−𝑞=𝑎11−𝑞（1﹣q4）（1+q4）=13×（﹣15）×（1+16）＝﹣85．考向三数列综合3．（2023•新高考Ⅰ•第20题）设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn=𝑛2+𝑛𝑎𝑛，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．（1）若3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，求{an}的通项公式；（2）若{bn}为等差数列，且S99﹣T99＝99，求d．解：（1）∵3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，∴根据题意可得{3(𝑎1+𝑑)=3𝑎1+𝑎1+2𝑑3𝑎1+3𝑑+(2𝑎1+6𝑎1+𝑑+12𝑎1+2𝑑)=21，∴{𝑎1=𝑑6𝑑+9𝑑=21，∴2d2﹣7d+3＝0，又d＞1，∴解得d＝3，∴a1＝d＝3，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】3∴an＝a1+（n﹣1）d＝3n，n∈N*；（2）∵{an}为等差数列，{bn}为等差数列，且bn=𝑛2+𝑛𝑎𝑛，∴根据等差数列的通项公式的特点，可设an＝tn，则𝑏𝑛=𝑛+1𝑡，且d＝t＞1；或设an＝k（n+1），则𝑏𝑛=𝑛𝑘，且d＝k＞1，①当an＝tn，𝑏𝑛=𝑛+1𝑡，d＝t＞1时，则S99﹣T99=(𝑡+99𝑡)×992−(2𝑡+100𝑡)×992=99，∴50𝑡−51𝑡=1，∴50t2﹣t﹣51＝0，又d＝t＞1，∴解得d＝t=5150；②当an＝k（n+1），𝑏𝑛=𝑛𝑘，d＝k＞1时，则S99﹣T99=(2𝑘+100𝑘)×992−(1𝑘+99𝑘)×992=99，∴51𝑘−50𝑘=1，∴51k2﹣k﹣50＝0，又d＝k＞1，∴此时k无解，∴综合可得d=5150．4．（2023•新高考Ⅱ•第18题）已知{an}为等差数列，bn={𝑎𝑛−6，𝑛为奇数2𝑎𝑛，𝑛为偶数，记Sn，Tn为{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，Sn，Tn为{an}{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16，则{𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4=32𝑎1−6+2𝑎2+𝑎3−6=16，即{4𝑎1+4(4−1)2𝑑=32𝑎2=7，解得{𝑎1=5𝑑=2，故an＝5+2（n﹣1）＝2n+3；（2）证明：由（1）可知，𝑏𝑛={2𝑛−3，𝑛为奇数4𝑛+6，𝑛为偶数，𝑆𝑛=(5+2𝑛+3)𝑛2=(𝑛+4)𝑛，当n为偶数时，n＞5，Tn＝﹣1+3+•••+2（n﹣1）﹣3+14+22+•••+4n+6=𝑛2[−1+2(𝑛−1)−3]2+𝑛2(14+4𝑛+6)2=𝑛2(14+6𝑛)2=𝑛(3𝑛+7)2，𝑇𝑛−𝑆𝑛=𝑛2−𝑛2＞0，当n为奇数时，n＞5，Tn＝Tn﹣1+bn=(𝑛−1)(3𝑛+4)2+2𝑛−3=3𝑛2+5𝑛−102，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】4Tn﹣Sn=𝑛2−3𝑛−102＞25−15−102=0，故原式得证．【命题意图】考查等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查等差、等比数列的性质；考查数列的求和方法，考查根据数列的递推公式求通项公式，考查数列和其他知识结合等综合知识．【考查要点】数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高．【得分要点】1．解决等差、等比数列有关问题的几点注意1等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；2对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；3注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题；4当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系.2．数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.,一般常见的求和方法有：（一）公式法①等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.②等比数列的前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1－anq1－q＝a11－qn1－q，q≠1.③数列前项和重要公式：（1）（2）n1nkk123n2)1(nn1(21)nkk13521n2n资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】5（3）（4）（5）等差数列中，；（6）等比数列中，.二分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.三裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.四错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(1)适用条件：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn；(2)基本步骤(3)注意事项：①在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；②作差后，等式右边有第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成；③运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误．五倒序相加法如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法.用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.考向一等差数列5．（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是31nkk2333)1(2121nnn21nkk)12)(1(613212222nnnnmnmnSSSmndnmmnnmmnSSqSSqS资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】6举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9【解答】解：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，由题意得：k1＝k3﹣0.2，k2＝k3﹣0.1，且，解得k3＝0.9，故选：D．考向二数列递推公式6.（多选）（2021•新高考Ⅱ）设正整数n＝a0•20+a1•21+…+ak﹣1•2k﹣1+ak•2k，其中ai∈{0，1}，记ω（n）＝a0+a1+…+ak，则（）A．ω（2n）＝ω（n）B．ω（2n+3）＝ω（n）+1C．ω（8n+5）＝ω（4n+3）D．ω（2n﹣1）＝n【解答】解：∵2n＝a0•21+a1•22+…+ak﹣1•2k+ak•2k+1，∴ω（2n）＝ω（n）＝a0+a1+…+ak，∴A对；当n＝2时，2n+3＝7＝1•20+1•21+1•22，∴ω（7）＝3．∵2＝0•20+1•21，∴ω（2）＝0+1＝1，∴ω（7）≠ω（2）+1，∴B错；∵8n+5＝a0•23+a1•24+•••+ak•2k+3+5＝1•20+1•22+a0•23+a1•24+•••+ak•2k+3，∴ω（8n+5）＝a0+a1+•••+ak+2．∵4n+3＝a0•22+a1•23+•••+ak•2k+2+3＝1•20+1•21+a0•22+a1•23+•••+ak•2k+2，∴ω（4n+3）＝a0+a1+•••+ak+2＝ω（8n+5）．∴C对；∵2n﹣1＝1•20+1•21+•••+1•2n﹣1，∴ω（2n﹣1）＝n，∴D对．故选：ACD．考向三数列的求和7．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】7格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么Sk＝dm2．【解答】解：易知有，，共5种规格；由题可知，对折k次共有k+1种规格，且面积为，故，则，记，则，∴Tn＝﹣＝1+（﹣）﹣＝，∴，∴．故答案为：5；．考向四数列综合8．（2021•新高考Ⅱ）记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）求使Sn＞an成立的n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）数列Sn是公差d不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．根据等差数列的性质，a3＝S5＝5a3，故a3＝0，根据a2a4＝S4可得（a3﹣d）（a3+d）＝（a3﹣2d）+（a3﹣d）+a3+（a3+d），整理得﹣d2＝﹣2d，可得d＝2（d＝0不合题意），故an＝a3+（n﹣3）d＝2n﹣6．（Ⅱ）an＝2n﹣6，a1＝﹣4，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】8Sn＝﹣4n+×2＝n2﹣5n，Sn＞an，即n2﹣5n＞2n﹣6，整理可得n2﹣7n+