专题08 解三角形（解析版）

资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题08解三角形目录一览2023真题展现考向一三角形中的几何运算考向二正弦定理真题考查解读近年真题对比考向一正弦定理考向二解三角形命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一三角形中的几何运算1．（2023•新高考Ⅱ•第17题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为√3，D为BC的中点，且AD＝1．（1）若∠ADC=π3，求tanB；（2）若b2+c2＝8，求b，c．解：（1）D为BC中点，𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶=√3，则𝑆𝛥𝐴𝐶𝐷=√32，过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：△ADE中，𝐷𝐸=12，𝐴𝐸=√32，𝑆𝛥𝐴𝐶𝐷=12⋅√32𝐶𝐷=√32，解得CD＝2，∴BD＝2，𝐵𝐸=52，故tan𝐵=𝐴𝐸𝐵𝐸=√3252=√35；（2）𝐴𝐷→=12(𝐴𝐵→+𝐴𝐶→)，𝐴𝐷→2=14(𝑐2+𝑏2+2𝑏𝑐cos𝐴)，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】AD＝1，b2+c2＝8，则1=14(8+2𝑏𝑐cos𝐴)，∴bccosA＝﹣2①，𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶=12𝑏𝑐sin𝐴=√3，即𝑏𝑐sin𝐴=2√3②，由①②解得tan𝐴=−√3，∴𝐴=2π3，∴bc＝4，又b2+c2＝8，∴b＝c＝2．考向二正弦定理2．（2023•新高考Ⅰ•第17题）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．（1）求sinA；（2）设AB＝5，求AB边上的高．【答案】（1）3√1010；（2）6．解：（1）∵A+B＝3C，A+B+C＝π，∴4C＝π，∴C=π4，∵2sin（A﹣C）＝sinB，∴2sin（A﹣C）＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），∴2sinAcosC﹣2cosAsinC＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC＝3cosAsinC，∴√22sin𝐴=3×√22cos𝐴，∴sinA＝3cosA，即cosA=13sinA，又∵sin2A+cos2A＝1，∴𝑠𝑖𝑛2𝐴+19𝑠𝑖𝑛2𝐴=1，解得sin2A=910，又∵A∈（0，π），∴sinA＞0，∴sinA=3√1010；（2）由（1）可知sinA=3√1010，cosA=13sinA=√1010，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC=3√1010×√22+√1010×√22=2√55，∴𝐴𝐵sin𝐶=𝐴𝐶sin𝐵=𝐵𝐶sin𝐴=5sinπ4=5√2，∴AC＝5√2sinB＝5√2×2√55=2√10，BC＝5√2×sin𝐴=5√2×3√1010=3√5，设AB边上的高为h，则12𝐴𝐵⋅ℎ=12×𝐴𝐶×𝐵𝐶×sin𝐶，∴52ℎ=12×2√10×3√5×√22，解得h＝6，即AB边上的高为6．【命题意图】考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、用正余弦定理解三角形、三角恒等变换等．【考查要点】解三角形是高考必考内容．考查正余弦定理和三角形面积公式．借助正余弦定理和三角形面积公式以资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】及恒等变形公式进行边角转换和化简，求边长、角度、面积等．【得分要点】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA=𝑎2𝑅，sinB=𝑏2𝑅，sinC=𝑐2𝑅a：b：c＝sinA：sinB：sinCasinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐cosB=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐cosC=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏解决三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角求第三边和其他两角2．三角形面积公式（1）S=12a•ha（ha表示边a上的高）．（2）S=12absinC=12acsinB=12bcsinA．（3）S=12r（a+b+c）（r为内切圆半径）．3．解三角形常用结论名称公式变形内角和定理A+B+C＝π𝐴2+𝐵2=π2−𝐶22A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐cosB=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐cosC=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2RR为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，sinA=𝑎2𝑅b＝2RsinB，sinB=𝑏2𝑅c＝2RsinC，sinC=𝑐2𝑅资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式S△=12aha=12bhb=12chcS△=12absinC=12acsinB=12bcsinAS△=12（a+b+c）r（r为△ABC内切圆半径）sinA=2𝑆△𝑏𝑐sinB＝2𝑆△𝑎𝑐sinC=2𝑆△𝑎𝑏考向一正弦定理3．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC．（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．解：（1）证明：由正弦定理知，，∴b＝2Rsin∠ABC，c＝2Rsin∠ACB，∵b2＝ac，∴b•2Rsin∠ABC＝a•2Rsin∠ACB，即bsin∠ABC＝asinC，∵BDsin∠ABC＝asinC，∴BD＝b；（2）法一：由（1）知BD＝b，∵AD＝2DC，∴AD＝，DC＝，在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BDA＝＝＝，在△CBD中，由余弦定理知，cos∠BDC＝＝＝，∵∠BDA+∠BDC＝π，∴cos∠BDA+cos∠BDC＝0，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】即＝0，得11b2＝3c2+6a2，∵b2＝ac，∴3c2﹣11ac+6a2＝0，∴c＝3a或c＝，在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC＝＝，当c＝3a时，cos∠ABC＝＞1（舍）；当c＝时，cos∠ABC＝；综上所述，cos∠ABC＝．法二：∵点D在边AC上且AD＝2DC，∴，∴，而由（1）知BD＝b，∴，即3b＝c•cos∠ABD+2a•cos∠CBD，由余弦定理知：，∴11b2＝3c2+6a2，∵b2＝ac，∴3c2﹣11ac+6a2＝0，∴c＝3a或c＝，在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC＝＝，当c＝3a时，cos∠ABC＝＞1（舍）；当c＝时，cos∠ABC＝；资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述，cos∠ABC＝．法三：在△BCD中，由正弦定理可知asinC＝BDsin∠BDC＝bsin∠BDC，而由题意可知ac＝b²⇒asinC＝bsin∠ABC，于是sin∠BDC＝sin∠ABC，从而∠BDC＝∠ABC或∠BDC+∠ABC＝π．若∠BDC＝∠ABC，则△CBD∽△CAB，于是CB²＝CD•CA⇒a²＝⇒a：b：c＝1：：3，无法构成三角形，不合题意．若∠BDC+∠ABC＝π，则∠ADB＝∠ABC⇒△ABD∽△ACB，于是AB²＝AD•AC⇒c²＝⇒a：b：c＝3：：2，满足题意，因此由余弦定理可得cos∠ABC＝＝．4．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：（1）∵2sinC＝3sinA，∴根据正弦定理可得2c＝3a，∵b＝a+1，c＝a+2，∴a＝4，b＝5，c＝6，在△ABC中，运用余弦定理可得，∵sin2C+cos2C＝1，∴sinC＝，∴＝．（2）∵c＞b＞a，∴△ABC为钝角三角形时，角C必为钝角，＝，∴a2﹣2a﹣3＜0，∵a＞0，∴0＜a＜3，∵三角形的任意两边之和大于第三边，∴a+b＞c，即a+a+1＞a+2，即a＞1，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴1＜a＜3，∵a为正整数，∴a＝2．考向二解三角形5．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．解：（1）∵＝，1+cos2B＝2cos2B≠0，cosB≠0．∴＝＝，化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（，π），∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C﹣．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+4sin2C﹣5≥2﹣5＝4﹣5，当且仅当sinC＝时取等号．∴的最小值为4﹣5．6．（2022•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）求△ABC的面积；（2）若sinAsinC＝，求b．解：（1）S1＝a2sin60°＝a2，S2＝b2sin60°＝b2，S3＝c2sin60°＝c2，∵S1﹣S2+S3＝a2﹣b2+c2＝，解得：a2﹣b2+c2＝2，∵sinB＝，a2﹣b2+c2＝2＞0，即cosB＞0，∴cosB＝，∴cosB＝＝，解得：ac＝，S△ABC＝acsinB＝．∴△ABC的面积为．（2）由正弦定理得：＝＝，∴a＝，c＝，由（1）得ac＝，∴ac＝•＝已知，sinB＝，sinAsinC＝，解得：b＝．本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】一．正弦定理（共7小题）1．（2023•淮北二模）已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若△ABC的面积为，sinB＝1+cosC，点D为边BC的中点，求AD的长．【解答】解：（1）因为，所以由正弦定理可得，即．由余弦定理可得，又A∈（0，π），所以．（2）因为sinB＝1+cosC，所以，即，又0＜B＜π，则，所以．所以a＝b，．所以，所以a＝b＝2．在△ACD中，由余弦定理可得，即．2．（2023•西固区校级二模）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．（1）求角A；（2）若a＝6，求△ABC周长的取值范围．【解答】解：（1）△ABC中，因为sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC，由正弦定理得a2﹣b2﹣c2＝bc，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】由①②解得cosA＝﹣，又A∈（0，π），所以A＝；（2）由a＝6，sinA＝sin＝，根据正弦定理得＝＝＝＝4，所以b＝4sinB，c＝4sinC＝4sin（﹣B）＝6cosB﹣2sinB，所以a+b+c＝6+4sinB+（6cosB﹣2sinB）＝6+2sinB+6cosB＝6+4sin（B+）；又0＜B＜，所以，所以，所以△ABC周长的取值范围为（12，6+4]．3．（2023•小店区校级模拟）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b，且．（1）求角C；（2）E为三角形ABC所在平面内的一点，且，求线段CE的长．【解答】解：（1）由a＝2b，