专题08 解三角形（原卷版）

资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题08解三角形目录一览2023真题展现考向一三角形中的几何运算考向二正弦定理真题考查解读近年真题对比考向一正弦定理考向二解三角形命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一三角形中的几何运算1．（2023•新高考Ⅱ•第17题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为√3，D为BC的中点，且AD＝1．（1）若∠ADC=π3，求tanB；（2）若b2+c2＝8，求b，c．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向二正弦定理2．（2023•新高考Ⅰ•第17题）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．（1）求sinA；（2）设AB＝5，求AB边上的高．【命题意图】考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、用正余弦定理解三角形、三角恒等变换等．【考查要点】解三角形是高考必考内容．考查正余弦定理和三角形面积公式．借助正余弦定理和三角形面积公式以及恒等变形公式进行边角转换和化简，求边长、角度、面积等．【得分要点】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA=𝑎2𝑅，sinB=𝑏2𝑅，sinC=𝑐2𝑅a：b：c＝sinA：sinB：sinCasinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐cosB=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐cosC=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏解决三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角求第三边和其他两角2．三角形面积公式资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）S=12a•ha（ha表示边a上的高）．（2）S=12absinC=12acsinB=12bcsinA．（3）S=12r（a+b+c）（r为内切圆半径）．3．解三角形常用结论名称公式变形内角和定理A+B+C＝π𝐴2+𝐵2=π2−𝐶22A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐cosB=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐cosC=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2RR为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，sinA=𝑎2𝑅b＝2RsinB，sinB=𝑏2𝑅c＝2RsinC，sinC=𝑐2𝑅射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式S△=12aha=12bhb=12chcS△=12absinC=12acsinB=12bcsinAS△=12（a+b+c）r（r为△ABC内切圆半径）sinA=2𝑆△𝑏𝑐sinB＝2𝑆△𝑎𝑐sinC=2𝑆△𝑎𝑏考向一正弦定理3．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC．（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．考向二解三角形5．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．6．（2022•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．（1）求△ABC的面积；（2）若sinAsinC＝，求b．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。一．正弦定理（共7小题）1．（2023•淮北二模）已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若△ABC的面积为，sinB＝1+cosC，点D为边BC的中点，求AD的长．2．（2023•西固区校级二模）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．（1）求角A；（2）若a＝6，求△ABC周长的取值范围．3．（2023•小店区校级模拟）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b，且．（1）求角C；（2）E为三角形ABC所在平面内的一点，且，求线段CE的长．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023•山西模拟）如图，在四边形ABCD中，已知∠ABC＝，∠BDC＝，AB＝BC＝7．（1）若BD＝5，求AD的长；（2）求△ABD面积的最大值．5．（2023•河南模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知5bsinA＝3atanB，D是AC边上一点，AD＝2DC，BD＝2．（1）求cosB；（2）求的最大值．6．（2023•武昌区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝2，2AD＝3CD．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）求△ABC的面积．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．（2023•润州区校级二模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____．（1）求角A的大小；（2）若D为线段CB延长线上的一点，且，求△ABC的面积．二．余弦定理（共4小题）8．（2023•蒙城县校级三模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且cos2C﹣cos2A＝sinAsinB﹣sin2B．（1）求∠C的大小；（2）已知a+b＝4，求△ABC的面积的最大值．9．（2023•广西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）证明：A＝B．（2）若D为BC的中点，从①AD＝4，②，③CD＝2这三个条件中选取两个作为条件证明另外一个成立．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】10．（2023•东风区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．a＝2，b＝2，且cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0．（1）求A；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．11．（2023•泸县校级模拟）已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（b﹣a）（sinB+sinA）＝（b﹣c）sinC．（1）求A；（2）从下列条件中：①a＝；②S△ABC＝中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．三．三角形中的几何计算（共10小题）12．（2023•西城区一模）如图，在△ABC中，∠A＝，AC＝，CD平分∠ACB交AB于点D，CD＝．（Ⅰ）求∠ADC的值；（Ⅱ）求△BCD的面积．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】13．（2023•武功县校级模拟）在△ABC中，是A，B，C所对应的分边别为a，b，c，且满足asinB＝bsin2A．（1）求∠A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求三角形的周长．14．（2023•全国三模）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且．（1）求角C；（2）若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．15．（2023•船营区校级模拟）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足____．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为的中点为D，求BD的最小值．16．（2023•甘肃模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，asin（B+C）＝（b﹣c）sinB+csinC．（1）求A；（2）若D在BC上，a＝2，且AD⊥BC，求AD的最大值．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】17．（2023•安徽模拟）如图，在Rt△ABC中，AB⊥AC，D，E分别为边CA，CB上一点，．（1）若，求AB的长；（2）若∠ADE＝∠BED，求BE的长．18．（2023•涪城区校级模拟）在①acosB﹣bcosA＝c﹣b，②tanA+tanB+tanC﹣tanBtanC＝0，③△ABC的面积为a（bsinB+csinC﹣asinA），这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．（1）求角A；（2）若a＝8，△ABC的内切圆半径为，求△ABC的面积．19．（2023•邯郸二模）已知条件：①2a＝b+2ccosB；②；③．从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：____．（1）求角C的大小；（2）若，∠ABC与∠BAC的平分线交于点I，求△ABI周长的最大值．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】20．（2023•资阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinB﹣csinC＝a．（1）证明：（2）若，，求△ABC的面积．21．（2023•湖北模拟）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，，AB＝1．（1）若，求△ABC的面积；（2）若，，求tan∠CAD．四．解三角形（共39小题）22．（2023•凯里市校级一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足sin（B﹣C）＝1，且（bcosC﹣ccosB）tanA＝a．（1）求A的大小；（2）若a＝，求△ABC的面积．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】23．（2023•沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足＝．（1）求的值；（2）若△ABC的面积为1，求边a的最小值．24．（2023•梅河口市校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知．（1）求△ABC的面积；（2）若，求c．25．（2023•新疆模拟）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若△ABC满足cos2A+2sin2＝1，a＝，b＝2．（1）求角A；（2）求△ABC的面积．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】26．（2023•莆田模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．27．（2023•岳麓区校级模拟）已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2csinAcosB+2bsinAcosC＝a，c＞a．（1）求角A；（2）若b＝2，△ABC的面积2，D是BC边上的点，且，求AD．28．（2023•广陵区校级模拟）如图，四边形ABCD中，已知BC＝1，AC2＝AB2+AB+1．（1）若△ABC的面积为，求△ABC的周长；（2）若AB＝3，∠ADB＝60°，∠BCD＝120°，求∠BDC的值．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】29．（2023•深圳模拟）已知a、b、c分别为△ABC三内角A、B、C所对的边，且．（1）求A；（2）若c2＝4a2﹣4b2，且，求c的值．30．（2023•桐城市校级二模）已知△ABC满足2sinCsin（B﹣A）＝2sinAsinC﹣sin2B．（1）试问：角B是否可能