专题09 立体几何初步（解析版）

资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题09立体几何初步目录一览2023真题展现考向一立体几何的体积考向二外接球与内切球考向三空间角真题考查解读近年真题对比考向一旋转体考向二立体几何的体积考向三外接球与内切球考向四球体的表面积考向五空间角考点六直线与平面的位置关系命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一立体几何的体积1．（2023•新高考Ⅱ•第14题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．【答案】28解：如图所示，根据题意易知△SO1A1∽△SOA，∴𝑆𝑂1𝑆𝑂=𝑂1𝐴1𝑂𝐴=√22√2=12，又SO1＝3，∴SO＝6，∴OO1＝3，又上下底面正方形边长分别为2，4，∴所得棱台的体积为13×(4+16+√4×16)×3=28．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023•新高考Ⅰ•第14题）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1=√2，则该棱台的体积为．【答案】7√66解：设正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面中心分别为M，N，过A1作A1H⊥AC，垂足点为H，由题意易知A1M＝HN=√22，又AN=√2，∴AH＝AN﹣HN=√22，又AA1=√2，∴A1H＝MN=√62，∴该四棱台的体积为13×（1+4+√1×4）×√62=7√66．考向二外接球与内切球3．（2023•新高考Ⅰ•第12题）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】ABD解：对于A，棱长为1的正方体内切球的直径为1＞0.99，选项A正确；对于B，如图，正方体内部最大的正四面体D﹣A1BC1的棱长为√12+12=√2＞1.4，选项B正确；对于C，棱长为1的正方体的体对角线为√3＜1.8，选项C错误；对于D，如图，六边形EFGHIJ为正六边形，E，F，G，H，I，J为棱的中点，高为0.01米可忽略不计，看作直径为1.2米的平面圆，六边形EFGHIJ棱长为√22米，∠GFH＝∠GHF＝30°，所以𝐹𝐻=√3𝐹𝐺=√3𝐺𝐻=√62米，故六边形EFGHIJ内切圆直径为√62米，而(√62)2=32＞(1.2)2=1.44，选项D正确．考向三空间角4．（2023•新高考Ⅱ•第9题）（多选）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则（）A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为4√3πC．AC＝2√2D．△PAC的面积为√3【答案】AC解：取AC中点D，则OD⊥AC，PD⊥AC，由二面角的定义可知，二面角P﹣AC﹣O的平面角即为∠PDO＝45°，对于A，△PAB中，由于PA＝PB＝2，∠APB＝120°，则PO＝1，𝐴𝑂=√3，则OD＝1，𝑉=13⋅3𝜋⋅1=𝜋，选项A正确．对于B，𝑆侧=𝜋×√3×2=2√3𝜋，选项B错误．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，𝐴𝐶=2√3−1=2√2，选项C正确．对于D，𝑃𝐷=√2，𝑆△𝑃𝐴𝐶=12×√2×2√2=2，选项D错误．【命题意图】考查空间几何体的表面积与体积、外接球问题、空间角等．【考查要点】命题会涉及到体积，表面积，角度等计算，涉及到最值计算，范围求取，考查空间想象力、运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想、逻辑推理能力．【得分要点】1．表面积与体积公式（1）棱柱的体积公式：设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．（2）棱锥的体积公式：设棱锥的底面积为S，高为h，V棱锥=13Sh．（3）棱台的体积公式：设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，V棱台=13×(𝑆+𝑆′+√𝑆×𝑆′)×ℎ．（4）圆柱的体积和表面积公式：设圆柱底面的半径为r，高为h(母线长𝑙)，则{𝑉圆柱=𝜋𝑟2ℎ𝑆圆柱=2×𝜋𝑟2+2𝜋𝑟𝑙=2𝜋𝑟(𝑟+𝑙)．（5）圆锥的体积和表面积公式：设圆锥的底面半径为r，高为h(母线长𝑙)，母线长为l：{𝑉圆锥=13𝜋𝑟2ℎ𝑆圆锥=𝜋𝑟2+𝜋𝑟𝑙=𝜋𝑟(𝑟+𝑙)．（6）圆台的体积和表面积公式：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：{𝑉圆台=13𝜋ℎ(𝑟2+𝑅2+𝑅𝑟)𝑆圆台=𝜋𝑟2+𝜋𝑅2+𝜋𝑟𝑙+𝜋𝑅𝑙=𝜋(𝑟2+𝑅2+𝑟𝑙+𝑅𝑙)．（7）球的体积和表面积：设球体的半径为R，V球体=43𝜋𝑅3，S球体＝4πR2．2．外接球题型归类：（1）三线垂直图形计算公式：三棱锥三线垂直还原成长方体2222a+b+cR资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由长方体（正方体）图形的特殊性质，可以构造如下三种模型：①三棱锥对棱相等．22222222mnlRabc，m，n，l是三个对棱棱长．②等边三角形与等腰直角三角形连接．③投影为矩形．（3）线面垂直型：线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）．计算公式222PCRr；其中2sinCDrA（4）面面垂直型一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型（5）垂线相交型等边或者直角：等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心．直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心．许多情况下，会和二面角结合．3．直线和平面所成的角：一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）作：作出斜线与射影所成的角．（2）证：论证所作（或找到的）角就是要求的角．（3）算：常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答：回答求解问题．4．线面角的求解方法：传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．向量求法：设直线l的方向向量为𝑎→，平面的法向量为𝑢→，直线与平面所成的角为θ，𝑎→与𝑢→的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|=|𝑎→⋅𝑢→||𝑎→||𝑢→|．5．二面角的平面角求法：（1）定义法．（2）三垂线定理及其逆定理．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．（4）平移或延长（展）线（面）法．（5）射影公式．（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角．（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为𝑢→和𝑣→，若两个平面的夹角为θ，则①当0≤＜𝑢→，𝑣→＞≤𝜋2，θ=＜𝑢→，𝑣→＞，cosθ＝cos＜𝑢→，𝑣→＞=𝑢→⋅𝑣→|𝑢→||𝑣→|．②当𝜋2＜＜𝑢→，𝑣→＞＜π时，cosθ＝﹣cos＜𝑢→，𝑣→＞=−𝑢→⋅𝑣→|𝑢→||𝑣→|．考向一旋转体5．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．2C．4D．4【解答】解：由题意，设母线长为l，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有，解得，所以该圆锥的母线长为．故选：B．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向二立体几何的体积5．（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3【解答】解：140km2＝140×106m2，180km2＝180×106m2，根据题意，增加的水量约为＝≈（320+60×2.65）×106×3＝1437×106≈1.4×109m3．故选：C．6．（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A．20+12B．28C．D．【解答】解法一：如图ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱台，AB＝2，A1B1＝4，AA1＝2．在等腰梯形A1B1BA中，过A作AE⊥A1B1，可得A1E＝＝1，AE＝＝＝．连接AC，A1C1，AC＝，A1C1＝＝4，过A作AG⊥A1C1，A1G＝＝，AG＝＝＝，∴正四棱台的体积为：资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】V＝＝＝．解法二：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，∵该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，∴该棱台的高h＝＝，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，则该棱台的体积为：V＝＝＝．故选：D．7.（多选）（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB．记三棱锥E﹣ACD，F﹣ABC，F﹣ACE的体积分别为V1，V2，V3，则（）A．V3＝2V2B．V3＝V1C．V3＝V1+V2D．2V3＝3V1资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】解：设AB＝ED＝2FB＝2，V1＝×S△ACD×|ED|＝，V2＝×S△ABC×|FB|＝，如图所示，连接BD交AC于点M，连接EM、FM，则FM＝，EM＝，EF＝3，故S△EMF＝＝，V3＝S△EMF×AC＝＝2，故C、D正确，A、B错误．故选：CD．8.（多选）（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P【解答】解：对于A，当λ＝1时，＝+μ，即，所以，故点P在线段CC1上，此时△AB1P的周长为AB1+B1P+AP，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】当点P为CC1的中点时，△AB1P的周长为，当点P在点C1处时，△AB1P的周长为，故周长不为定值，故选项A错误；对于B，当μ＝1时，，即，所以，故点P在线段B1C1上，因为B1C1∥平面A1BC，所以直线B1C1上的点到平面A1BC的距离相等，又△A1BC的面积为定值，所以三棱锥P﹣A1BC的体积为定值，故选项B正确；对于C，当λ＝时，取线段BC，B1C1的中点分别为M，M1，连结M1M，因为，即，所以，则点P在线段M1M上，当点P在M1处时，A1M1⊥B1C1，A1M1⊥B1B，又B1C1∩B1B＝B1，所以A1M1⊥平面BB1C1C，又BM1⊂平面BB1C1C，所以A1M1⊥BM1，即A1P⊥BP，同理，当点P在M处，A1P⊥BP，故选项C错误；资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于D，当μ＝时，取CC1的中点D1，BB1的中点D，因为，即，所以，则点P在线的DD1上，当点P在点D1处时，取AC的中点E，连结A1E，BE，因为BE⊥平面ACC1A1，又AD1⊂平面ACC1A1，所以AD1⊥BE，在正方形ACC1A1中，AD1⊥A1E，又BE∩A1E＝E，BE，A1E⊂平面A1BE，故AD1⊥平面A1BE，又A1B⊂平面A1BE，所以A1B⊥AD1，在正方体形ABB1A1中，A1B⊥AB1