专题11 直线与圆（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1专题11直线与圆目录一览2023真题展现考向一直线与圆相切考向二直线与圆相交真题考查解读近年真题对比考向一直线与圆相切考向二直线与圆的位置关系命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一直线与圆相切1．（2023•新高考Ⅰ•第6题）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（）A．1B．√154C．√104D．√64【答案】B解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r=√5；设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC=√22+22=2√2，△PAC中，sin𝛼2=√52√2，所以cos𝛼2=√1−58=√32√2，所以sinα＝2sin𝛼2cos𝛼2=2×√52√2×√32√2=√154．故选：B．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2考向二直线与圆相交2．（2023•新高考Ⅱ•第15题）已知直线x﹣my+1＝0与⊙C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值．【答案】2（或﹣2或12或−12）解：由圆C：（x﹣1）2+y2＝4，可得圆心坐标为C（1，0），半径为r＝2，因为△ABC的面积为85，可得S△ABC=12×2×2×sin∠ACB=85，解得sin∠ACB=45，设12∠ACB＝θ所以∴2sinθcosθ=45，可得2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃=45，∴2𝑡𝑎𝑛𝜃𝑡𝑎𝑛2𝜃+1=45，∴tanθ=12或tanθ＝2，∴cosθ=2√5或cosθ=1√5，∴圆心眼到直线x﹣my+1＝0的距离d=4√5或2√5，∴2√1+𝑚2=4√5或2√1+𝑚2=2√5，解得m＝±12或m＝±2．故答案为：2（或﹣2或12或−12）．【命题意图】考查直线的倾斜角与斜率、直线方程、两直线平行与垂直、距离公式、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系．【考查要点】常考查直线与圆的位置关系、动点与圆、圆与圆的关系。常考查由直线与圆相切或相交来解决问题(解析法、几何法)，常与平面向量、几何概型、三角函数、函数与最值等联合考查．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3【得分要点】1．直线的倾斜角与斜率图示倾斜角α＝0°0°α90°α＝90°90°α180°斜率k＝0k0不存在k02．直线方程的五种形式形式方程局限点斜式y－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直线斜截式y＝kx＋b不能表示斜率不存在的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1x1≠x2，y1≠y2截距式xa＋yb＝1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0无3．距离公式（1）两点间的距离𝐴𝐵=√(𝑥1−𝑥2)2+(𝑦1−𝑦2)2.（2）点到线的距离𝑑=|𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶|√𝐴2+𝐵2.（3）平行线的距离𝑑=|𝐶1−𝐶2|√𝐴2+𝐵2.4．直线的夹角（1）定义：两条直线l1和l2相交，l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2＝π﹣θ1，当直线l1与l2相交但不垂直时，θ1和π﹣θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角θ．（2）直线l1和l2的夹角公式：tanθ=|𝑘2−𝑘11+𝑘2𝑘1|（θ不为90°），l1与l2的夹角的取值范围是（0，𝜋2]．5．圆的方程（1）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），其中圆心坐标为（−𝐷2，−𝐸2），半径r=12√𝐷2+𝐸2−4𝐹．（2）圆的标准方程：(x﹣a)2+(y﹣b)2＝r2，其中圆心坐标为(a,b)，半径为r．6．圆的切线方程（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．7．直线与圆的位置关系资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】48．直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2位置关系的判断方法（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d=|𝐴𝑎+𝐵𝑏+𝐶|√𝐴2+𝐵2①相交：d＜r；②相切：d＝r；③相离：d＞r．（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用△判断．由{𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0；②相切：△＝0；③相离：△＜0．9．圆与圆的位置关系10．圆与圆的位置关系的判定设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断①外离（4条公切线）：d＞r1+r2．②外切（3条公切线）：d＝r1+r2．③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2．④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2|．⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|．（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．考向一直线与圆相切3．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程．【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心坐标为O（0，0），半径r1＝1，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16的圆心坐标为C（3，4），半径r2＝4，如图：资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5∵|OC|＝r1+r2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．∵，∴l1的斜率为，设直线l1：y＝﹣，即3x+4y﹣4b＝0，由，解得b＝（负值舍去），则l1：3x+4y﹣5＝0；由图可知，l2：x＝﹣1；l2与l3关于直线y＝对称，联立，解得l2与l3的一个交点为（﹣1，），在l2上取一点（﹣1，0），该点关于y＝的对称点为（x0，y0），则，解得对称点为（，﹣）．∴＝，则l3：y＝，即7x﹣24y﹣25＝0．∴与圆x2+y2＝1和（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．故答案为：x＝﹣1（填3x+4y﹣5＝0，7x﹣24y﹣25＝0都正确）．考向二直线与圆的位置关系4．（多选）（2021•新高考Ⅰ）已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（）A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3D．当∠PBA最大时，|PB|＝3【解答】解：∵A（4，0），B（0，2），资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6∴过A、B的直线方程为，即x+2y﹣4＝0，圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16的圆心坐标为（5，5），圆心到直线x+2y﹣4＝0的距离d＝＝＞4，∴点P到直线AB的距离的范围为[，]，∵＜5，∴＜1，＜10，∴点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故A正确，B错误；如图，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大（P点位于P1时∠PBA最小，位于P2时∠PBA最大），此时|BC|＝，∴|PB|＝，故CD正确．故选：ACD．5．（多选）（2021•新高考Ⅱ）已知直线l：ax+by﹣r2＝0与圆C：x2+y2＝r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离C．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切D．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离【解答】解：A中，若A在圆上，则a2+b2＝r2，而圆心到直线l的距离d＝＝|r|，所以直线与圆相切，即A正确；B中，点A在圆C外，则a2+b2＞r2，而圆心到直线l的距离d＝＜|r|，所以直线l与圆相交，所以B不正确；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7C中，点A在直线l上，则a2+b2＝r2，而圆心到直线l的距离d＝＝|r|，所以直线l与圆相切，所以C正确；D中，点A在圆C内，则a2+b2＜r2，而圆心到直线l的距离d＝＞|r|，所以直线l与圆相离，所以D正确；故选：ACD．6．（2022•新高考Ⅱ）设点A（﹣2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）2＝1有公共点，则a的取值范围是．【解答】解：点A（﹣2，3），B（0，a），kAB＝，所以直线AB关于y＝a对称的直线的斜率为：，所以对称直线方程为：y﹣a＝，即：（3﹣a）x﹣2y+2a＝0，（x+3）2+（y+2）2＝1的圆心（﹣3，﹣2），半径为1，所以，得12a2﹣22a+6≤0，解得a∈[，]．故答案为：[，]．近几年的考查方式及难度变化不大，主要考查直线、圆的方程及位置关系，考查直线方程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数取值范围求解、直线与圆的位置关系中涉及的弦长与切线方程的求解，以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。一．轨迹方程（共2小题）1．（多选）（2023•保定三模）在平面直角坐标系中，A（1，0），B（3，0），C（﹣1，4），动点P满足|PA|2+|PB|2＝10．则（）A．点P的轨迹方程为（x﹣2）2+y2＝4B．△PAB面积的最大值为2C．过点C与点P的轨迹相切的直线只有1条D．设|CP|的最小值为a，当m+n＝a（m＞0，n＞0）时，的最小值为【解答】解：设P（x，y），|PA|2+|PB|2＝（x﹣1）2+y2+（x﹣3）2+y2＝10，即（x﹣2）2+y2＝4，故A正确；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8，故B正确；因为（﹣1﹣2）2+42＝25＞4，所以点C在圆外，切线有两条，故C错误；，则m+n＝3，2＝，当且仅当时等号成立，故D正确．故选：ABD．2．（2023•河南模拟）圆M：x2+y2+2x﹣8＝0与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），点N满足，直线l：y＝kx+m（k＞0）与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线l的斜率为．【解答】解：圆M的圆心M（﹣1，0），半径r1＝3，令y＝0可得x2+2x﹣8＝0，解得x＝﹣4或x＝2，由题意可得A（﹣4，0），B（2，0），设N（x，y），由题意可得＝2，整理可得：x2+y2﹣8x＝0，可得N的轨迹为圆，且圆心（4，0），半径为4，因为直线l与两个圆相切，所以，两式相除可得4|﹣k+b|＝3|4k+b|，可得4（﹣k+b）＝3（4k+b）或4（k﹣b）＝3（4k+b），即b＝16k或b＝﹣k，当b＝16k时，代入＝3中，整理可得24k2＝1，因为k＞0，解得k＝；当b＝﹣k时，代入＝3中，整理可得24k2+49＝0，显然无解，综上所述直线l的斜率k＝，故答案为：．二．圆的切线方程（共14小题）3．（2023•丰台区一模）已知圆（x﹣2）2+（y+3）2＝r2与y轴相切，则r＝（）A．B．C．2D．3【解答】解：由圆（x﹣2）2+（y+3）2＝r2的方程可得圆心的坐标（2，﹣3），资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9再由圆与y轴相切，可得半径r＝2，故选：C．4．（2023•潮州模拟）过圆x2+y2＝4上一点P作圆O：x2+y2＝m2（m＞0）的两条切线，切点分别为A，B，若，则实数m＝（）A．B．C．1D．2【解答】解：根据题意，如图：x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径R＝2，即|OP|＝2，圆O：x2+y2＝m2，圆心为（0，0），半径r＝m，则|OA|＝|OB|＝m，若，则∠OPA＝，又由OA⊥AP，则|OP|＝2|OA|，则m＝1，故选：C．5．（2023•延庆区一模）若直线x﹣y+1＝0与圆x2+y2﹣2x+1﹣a＝0相切，则a等于（）A．2B．1C．D．4【解答】解：因为直线x﹣y+1＝0与圆x2+y2﹣2x+1﹣a＝0相切，又圆x2+y2﹣2x+1﹣a＝0可化为（x﹣1）2+y2＝a，由题意