专题12 椭圆（原卷版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题12椭圆目录一览2023真题展现考向一椭圆的性质考向二直线与椭圆相交问题真题考查解读近年真题对比考向一椭圆的性质考向二直线与椭圆相交问题命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一椭圆的性质1．（2023•新高考Ⅰ•第5题）设椭圆C1：𝑥2𝑎2+y2＝1（a＞1），C2：𝑥24+y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2=√3e1，则a＝（）A．2√33B．√2C．√3D．√6考向二直线与椭圆相交问题2．（2023•新高考Ⅱ•第5题）已知椭圆C：𝑥23+𝑦2=1的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（）A．23B．√23C．−√23D．−23【命题意图】考查椭圆的定义、标准方程、几何性质、直线与椭圆．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【考查要点】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容，以小题形式出现，常规题，难度中等．【得分要点】一、椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．①若1212||||||MFMFFF，M的轨迹为线段21FF；②若1212||||||MFMFFF，M的轨迹无图形二、椭圆的方程及简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0),_B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a),B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝ca(0e1)（注：e＝1－b2a2＝11＋b2c2.）三、椭圆的焦点三角形椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)面积公式：S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.重要结论：S△PF1F2=2tan2b推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ得2224||+||-2||||(1cos121cPFPFPFPF（））2212442||||(1cos)caPFPF2122||||1cosbPFPF由三角形的面积公式可得S△PF1F2=121|PF||PF|sin2=222222sincos12sin22sintan21cos1cos2cos2bbbb注：S△PF1F2=2tan2b=||pyc=rca)(（r是三角形内切圆的半径）(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．(5)在椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，12FPF最大.四、点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b21；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b21.五、直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系，判断方法：联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消y得一元二次方程．当Δ0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ0时，方程无解，直线与椭圆相离．六、直线与椭圆相交的弦长公式资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2．求弦长的方法(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．(2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.注：（1）已知弦AB是椭圆22221xyab（0ab）的一条弦，中点M坐标为00(,)xy，则AB的斜率为2020bxay，运用点差法求AB的斜率，设11(,)Axy，22(,)Bxy；A、B都在椭圆上，22112222222211xyabxyab两式相减得：22221212220xxyyab，1212121222()()()()0xxxxyyyyab即22012122212120bxyyxxbxxayyay，故2020ABbxkay（2）弦AB的斜率与弦中心M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值：22ab考向一椭圆的性质3．（2021•新高考Ⅰ）已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（）A．13B．12C．9D．64．（2022•新高考Ⅱ）已知直线l与椭圆+＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为．考向二直线与椭圆相交问题5．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据近几年考查形式推测以小题形式出现，常规题，难度中等．椭圆的定义、方程、性质、直线与椭圆是高考常考内容。一．椭圆的标准方程（共2小题）1．（2023•宜宾模拟）“1＜m＜3”是“方程+＝1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（2023•江西模拟）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，请写出一个符合上述条件的椭圆的标准方程．二．椭圆的性质（共43小题）3．（2023•全国模拟）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，A为上顶点，若△AF1F2的面积为，则△AF1F2的周长为（）A．8B．7C．6D．54．（2023•武昌区校级模拟）设F1，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，点P为椭圆上异于A点的任意一点，则使得成立的点P的个数为（）A．1B．2C．3D．45．（2023•白山二模）已知椭圆C：+＝1的离心率为，则C的长轴长为（）A．8B．4C．2D．46．（2023•甘肃模拟）已知椭圆的方程为（m＞0，n＞0），离心率，则下列选项中不满足条件的为（）A．B．+＝1C．D．x2+4y2＝17．（2023•射洪市校级模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．B．C．D．8．（2023•桐城市校级二模）法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：的蒙日圆为C：x2+y2＝3b2，则椭圆Γ的离心率为（）A．B．C．D．9．（2023•甘肃模拟）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若四边形AF1BF2为矩形，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．10．（2023•招远市模拟）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N，若，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（2023•淄博三模）已知椭圆C：（a＞b＞0），F为其左焦点，直线y＝kx（k＞0）与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB．若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．12．（2023•未央区模拟）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为C上一点，若MF1的中点为（0，1），且△MF1F2的周长为8+4，则C的标准方程为（）A．B．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．D．13．（2023•淄博二模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，若从椭圆右焦点F2发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，且cos∠ABC＝，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．14．（2023•江西模拟）某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，F1，F2分别为该椭圆的两个焦点，PQ为该椭圆过点F2的一条弦，且△PQF1的周长为3|F1F2|．若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为（）A．米B．米C．米D．米15．（2023•锦江区校级模拟）19世纪法国著名数学家加斯帕尔⋅蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为x2+y2＝a2+b2．若圆（x﹣3）2+（y﹣m）2＝9与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则m的值为（）A．±3B．±4C．±5D．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16．（2023•青羊区校级模拟）如图，A，B是椭圆的左、右顶点，P是⊙O：x2+y2＝a2上不同于A，B的动点，线段PA与椭圆C交于点Q，若tan∠PBA＝3tan∠QBA，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．17．（2023•思明区校级模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上且位于第一象限，满足，∠AF1F2的平分线与AF2相交于点B，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．18．（2023•源汇区校级模拟）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆．椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为21π，点P在椭圆C上，且点P与椭圆C左、右顶点连线的斜率之积为，记椭圆C的两个焦点分别为F1，F2，则|PF1|的值不可能为（）A．4B．7C．10D．1419．（2023•安居区校级模拟）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）上有一异于顶点的点P，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，且两直线PA，PB的斜率的乘积为﹣，则椭圆C的离心率e为（）A．B．C．D．20．（2023•龙华区校级模拟）已知F1、F2是椭圆E：的左、右焦点，点P（x0，y0）为E上一动点，且|x0|≤1，若I为△PF1F2的内心，则△IF1F2面积的取值范围是（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．B．C．D．21．（2023•江西模拟）已知椭圆＝1的左右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于长轴端点的动点，G，I分别为△PF1F2的重心和内心，则＝（）A．B．C．D．222．（2023•浙江二模）已