专题14 抛物线（原卷版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题14抛物线目录一览2023真题展现考向一直线与抛物线真题考查解读近年真题对比考向一抛物线的性质考向二直线与抛物线命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一直线与抛物线1．（多选）（2023•新高考Ⅱ•第10题）设O为坐标原点，直线y=−√3（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）A．p＝2B．|MN|=83C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形【命题意图】考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、直线与抛物线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【考查要点】抛物线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等．【得分要点】一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．②定义的实质可归纳为“一动三定”一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．二、抛物线的方程及简单几何性质类型y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)图象性质焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下三、直线与抛物线的位置关系设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当Δ0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．四、弦长问题过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.注：(1)x1·x2＝p24.(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α是直线AB的倾斜角)．(4)1|AF|＋1|BF|＝2p为定值(F是抛物线的焦点)．（5）求弦长问题的方法①一般弦长：|AB|＝1＋k2|x1－x2|，或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|.②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.考向一抛物线的性质2．（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若|AF|＝|AM|，则（）A．直线AB的斜率为2B．|OB|＝|OF|C．|AB|＞4|OF|D．∠OAM+∠OBM＜180°故选：ACD．3．（2021•新高考Ⅱ）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x+1的距离为，则p＝（）A．1B．2C．2D．44．（2021•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为．考向二直线与抛物线5.（多选）（2022•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为y＝﹣1B．直线AB与C相切C．|OP|•|OQ|＞|OA|2D．|BP|•|BQ|＞|BA|2资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据近几年考题推测考查内容抛物线的定义、方程、性质，以小题出现，常规题，难度中等．一．抛物线的标准方程（共1小题）1．（2023•道里区校级二模）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点（﹣3，3），则此抛物线的标准方程为．二．抛物线的性质（共39小题）2．（2023•海淀区一模）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，则|PF|＝（）A．2B．3C．4D．53．（2023•润州区校级二模）图1是世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系xOy内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为125m，则点P到该抛物线焦点F的距离为（）A．225mB．275mC．300mD．350m4．（2023•郑州模拟）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），一条平行于y轴的光线，经过点A（1，4），射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若|AB|+|BF|＝5，则抛物线C的准线方程是（）A．B．y＝﹣1C．y＝﹣2D．y＝﹣45．（2023•红山区模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线C上，若（y1﹣2y2）（y1+2y2）＝48，则＝（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．4B．2C．D．6．（2023•河南模拟）设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足PQ∥x轴．若|PQ|＝|QF|，则|PF|＝（）A．2B．C．3D．7．（2023•四川模拟）抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线x﹣y+3＝0与C交于A，B两点，则△ABF的面积为（）A．4B．8C．12D．168．（2023•乌鲁木齐三模）“米”是象形字．数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2＝﹣2px（p＞0）和C2：y2＝2px（p＞0）构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在抛物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若PF1＝3PQ＝6，则p＝（）A．4B．6C．8D．109．（2023•平罗县校级模拟）已知抛物线C：y2＝20x的焦点为F，抛物线C上有一动点P，Q（6，5），则|PF|+|PQ|的最小值为（）A．10B．16C．11D．2610．（2023•新疆模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．y2＝xB．y2＝2xC．y2＝4xD．y2＝8x11．（2023•河南模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l，且点A（4，4）在抛物线上，则点A到准线l的距离为（）A．5B．4C．3D．212．（2023•海淀区校级三模）已知抛物线y＝ax2（a＞0），焦点F到准线的距离为1，若点M在抛物线上，且|MF|＝5，则点M的纵坐标为．13．（2023•3月份模拟）已知点M为抛物线y2＝8x上的动点，点N为圆x2+（y﹣4）2＝5上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为．14．（2023•兴国县模拟）已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0）的直线与抛物线C交于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．B．C．D．415．（2023•重庆模拟）已知点P为抛物线y2＝2px（p＞0）上一动点，点Q为圆C：（x+1）2+（y﹣4）2＝1上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若|PQ|+d的最小值为2，则p＝（）A．B．p＝1C．p＝2D．p＝416．（2023•武昌区校级模拟）已知抛物线和，若C1和C2有且仅有两条公切线l1和l2，l1和C1、C2分别相切于M，N点，l2与C1、C2分别相切于P，Q两点，则线段PQ与MN（）A．总是互相垂直B．总是互相平分C．总是互相垂直且平分D．上述说法均不正确17．（2023•武汉模拟）设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝（）A．3B．6C．9D．1218．（2023•晋中二模）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若|NF|＝|MN|，则|MF|＝（）A．B．1C．D．419．（2023•湖北模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A，B是其准线上的两个动点，且FA⊥FB，线段FA，FB分别与抛物线C交于P，Q两点，记△PQF的面积为S1，△ABF的面积为S2，当时，|AB|＝．20．（2023•包河区模拟）已知F为抛物线C：y2＝4x的交点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为．21．（2023•天山区校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为K，过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，若|AF|﹣|BF|＝，则|＝．22．（2023•龙岗区校级一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，PF交C于M，N两点，且满足，则|NF|＝．23．（2023•江西模拟）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为y2＝8x，平行于x轴的光线从点M（12，2）射出，经过C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则|MB|＝（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．6B．8C．D．2924．（2023•平江县校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0的垂线，垂足为P，则|MF|+|MP|的最小值为（）A．B．C．5D．325．（2023•张家口三模）已知F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝λ|BF|＝λ，则λ＝（）A．1B．C．3D．426．（2023•商丘三模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣1，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，点P在l上的射影为P1，则下列结论错误的是（）A．若x1+x2＝5，则|PQ|＝7B．以PQ为直径的圆与准线l相切C．设M（0，1），则|PM|+|PP1|≥D．过点M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条27．（2023•徐汇区校级三模）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点F与的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦长|AB|＝（）A．16