专题15 圆锥曲线综合（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题15圆锥曲线综合目录一览2023真题展现考向一直线与双曲线综合考向二直线与抛物线综合真题考查解读近年真题对比考向一直线与双曲线综合考向二直线与圆锥曲线综合命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一直线与双曲线综合1．（2023•新高考Ⅱ•第21题）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣2√5，0），离心率为√5．（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．解：（1）双曲线C中心为原点，左焦点为（﹣2√5，0），离心率为√5，则{𝑐2=𝑎2+𝑏2𝑐=2√5𝑒=𝑐𝑎=√5，解得{𝑎=2𝑏=4，故双曲线C的方程为𝑥24−𝑦216=1；（2）证明：过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，则可设直线MN的方程为x＝my﹣4，M（x1，y1），N（x2，y2），记C的左，右顶点分别为A1，A2，则A1（﹣2，0），A2（2，0），联立{𝑥=𝑚𝑦−44𝑥2−𝑦2=16，化简整理可得，（4m2﹣1）y2﹣32my+48＝0，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故Δ＝（﹣32m）2﹣4×48×（4m2﹣1）＝264m2+192＞0且4m2﹣1≠0，𝑦1+𝑦2=32𝑚4𝑚2−1，𝑦1𝑦2=484𝑚2−1，直线MA1的方程为𝑦=𝑦1𝑥1+2(𝑥+2)，直线NA2方程y=𝑦2𝑥2−2(𝑥−2)，故𝑥+2𝑥−2=𝑦2(𝑥1+2)𝑦1(𝑥2−2)=𝑦2(𝑚𝑦1−2)𝑦1(𝑚𝑦2−6)=𝑚𝑦1𝑦2−2(𝑦1+𝑦2)+2𝑦1𝑚𝑦1𝑦2−6𝑦1=𝑚⋅484𝑚2−1−2⋅32𝑚4𝑚2−1+2𝑦1𝑚⋅484𝑚2−1−6𝑦1=−16𝑚4𝑚2−1+2𝑦148𝑚4𝑚2−1−6𝑦1=−13，故𝑥+2𝑥−2=−13，解得x＝﹣1，所以xP＝﹣1，故点P在定直线x＝﹣1上运动．考向二直线与抛物线综合2．（2023•新高考Ⅰ•第22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3．解：（1）设点P点坐标为（x，y），由题意得|y|＝，两边平方可得：y2＝x2+y2﹣y+，化简得：y＝x2+，符合题意．故W的方程为y＝x2+．（2）解法一：不妨设A，B，C三点在W上，且AB⊥BC．设A（a，a2），B（b，），C（c，），则，．由题意，＝0，即（b﹣a）（c﹣b）+（b2﹣a2）（c2﹣b2）＝0，显然（b﹣a）（c﹣b）≠0，于是1+（b+a）（c+b）＝0．此时，|b+a|．|c+b|＝1．于是min{|b+a|，|c+b|}≤1．不妨设|c+b|≤1，则a＝﹣b﹣，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则|AB|+|BC|＝|b﹣a|+|c﹣b|＝|b﹣a|+|c﹣b|≥|b﹣a|+|c﹣b|≥|c﹣a|＝|b+c+|．设x＝|b+c|，则f（x）＝（x+），即f（x）＝，又f′（x）＝＝．显然，x＝为最小值点．故f（x）≥f（）＝，故矩形ABCD的周长为2（|AB|+|BC|）≥2f（x）≥3．注意这里有两个取等条件，一个是|b+c|＝1，另一个是|b+c|＝，这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．解法二：不妨设A，B，D在抛物线W上，C不在抛物线W上，欲证命题为|AB|+|AD|＞．由图象的平移可知，将抛物线W看作y＝x2不影响问题的证明．设A（a，a2）（a≥0），平移坐标系使A为坐标原点，则新抛物线方程为y′＝x′2+2ax′，写为极坐标方程，即ρsinθ＝ρ2cos2θ+2aρcosθ，即ρ＝．欲证明的结论为||+||＞，也即|﹣|+|+|＞．不妨设||≥||，将不等式左边看成关于a的函数，根据绝对值函数的性质，其最小值当即a＝时取得，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因此欲证不等式为||＞，即||＞，根据均值不等式，有|cosθsin2θ|＝.≤.＝，由题意，等号不成立，故原命题得证．【命题意图】考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线相交等．【考查要点】圆锥曲线综合是高考必考的解答题，难度较大．考查圆锥曲线标准方程的求解，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查定值、定直线、面积最值、存在性与恒成立等问题．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．【得分要点】1．圆锥曲线的定义（1）椭圆定义：12||||2PFPFa．（2）双曲线定义：12|||-|||2PFPFa．（3）抛物线定义：|𝑃𝐹|=𝑑．2．圆锥曲线的标准方程及几何性质（1）椭圆的标准方程与几何性质标准方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎𝑏0)图形几何性质范围−𝑎≤𝑥≤𝑎,−𝑏≤𝑦≤𝑏−𝑏≤𝑥≤𝑏,−𝑎≤𝑦≤𝑎对称性对称轴：𝑥轴、𝑦轴.对称中心：原点.焦点𝐹1(−𝑐,0),𝐹2(𝑐,0).𝐹1(0,−𝑐),𝐹2(0,𝑐).顶点𝐴1(−𝑎,0)，𝐴2(𝑎,0)，𝐵1(0,−𝑏),𝐵2(0,𝑏).𝐴1(0,−𝑎),𝐴2(0,𝑎)，𝐵1(−𝑏,0),𝐵2(𝑏,0).轴线段𝐴1𝐴2，𝐵1𝐵2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为2𝑎，短轴长为2𝑏.焦距|𝐹1𝐹2|=2𝑐.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】离心率𝑒=𝑐𝑎=√1−𝑏2𝑎2∈(0,1).𝑎,𝑏,𝑐的关系𝑐2=𝑎2−𝑏2.（2）双曲线的标准方程与几何性质标准方程𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0,b＞0）𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1（a＞0,b＞0）图形性质焦点F1（﹣c,0），F2（c,0）F1（0,﹣c），F2（0,c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=𝑐𝑎（e＞1）准线x＝±𝑎2𝑐y＝±𝑎2𝑐渐近线𝑥𝑎±𝑦𝑏=0𝑥𝑏±𝑦𝑎=0（3）抛物线的标准方程与几何性质标准方程𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)𝑦2=−2𝑝𝑥(𝑝0)𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝0)𝑥2=−2𝑝𝑦(𝑝0)图形几何性质对称轴𝑥轴𝑦轴顶点𝑂(0,0)焦点𝐹(𝑝2,0)𝐹(−𝑝2,0)𝐹(0,𝑝2)𝐹(0,−𝑝2)准线方程𝑥=−𝑝2𝑥=𝑝2𝑦=−𝑝2𝑦=𝑝2范围𝑥≥0,𝑦∈𝐑𝑥≤0,𝑦∈𝐑𝑦≥0,𝑥∈𝐑𝑦≤0,𝑥∈𝐑离心率𝑒=1焦半径（𝑃(𝑥0,𝑦0)为抛物线上一点）𝑝2+𝑥0𝑝2−𝑥0𝑝2+𝑦0𝑝2−𝑦03.圆锥曲线中最值与范围的求解方法资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】几何法若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决.代数法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.4.求解直线或曲线过定点问题的基本思路（1）把直线或曲线方程中的变量𝑥,𝑦当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于𝑥,𝑦的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式𝑦−𝑦0=𝑘(𝑥−𝑥0)，则直线必过定点(𝑥0,𝑦0);若得到了直线方程的斜截式𝑦=𝑘𝑥+𝑚，则直线必过定点(0,𝑚).（3）从特殊情况入手，先探究定点，再证明该定点与变量无关.5.求解定值问题的常用方法（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.6.求解定线问题的常用方法定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的本质是求点的轨迹方程，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标之间的关系.7.有关证明问题的解题策略圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系的证明，证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明.8.探索性问题的解题策略此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在，否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.考向一直线与双曲线综合3．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），渐近线方程为y＝±x．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0．过P且斜率为﹣的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解答】解：（1）由题意可得＝，＝2，解得a＝1，b＝，因此C的方程为x2﹣＝1，（2）解法一：设直线PQ的方程为y＝kx+m，（k≠0），将直线PQ的方程代入x2﹣＝1可得（3﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，Δ＝12（m2+3﹣k2）＞0，∵x1＞x2＞0∴x1+x2＝＞0，x1x2＝﹣＞0，∴3﹣k2＜0，∴x1﹣x2＝＝，设点M的坐标为（xM，yM），则，两式相减可得y1﹣y2＝2xM﹣（x1+x2），∵y1﹣y2＝k（x1﹣x2），∴2xM＝（x1+x2）+k（x1﹣x2），解得XM＝，两式相加可得2yM﹣（y1+y2）＝（x1﹣x2），∵y1+y2＝k（x1+x2）+2m，∴2yM＝（x1﹣x2）+k（x1+x2）+2m，解得yM＝，∴yM＝xM，其中k为直线PQ的斜率；若选择①②：设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝﹣，∴x3+x4＝，y3+y4＝，此时点M的坐标满足，解得XM＝＝（x3+x4），yM＝＝（y3+y4），∴M为AB的中点，即|MA|＝|MB|；若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F（2，0），此时不在直线y＝x上，矛盾，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m（x﹣2）（m≠0），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝﹣，此时xM＝（x3+x4）＝，∴yM＝（y3+y4）＝，由于点M同时在直线y＝x上，故6m＝•2m2，解得k＝m，因此PQ∥AB．若选择②③，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），并设A的坐标为（x3，y3），B的坐标为（x4，y4），则，解得x3＝，y3＝，同理可得x4＝，y4＝﹣，设AB的中点C（xC，yC），则xC＝（x3+x4）＝，yC＝（y3+y4）＝，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于|MA|＝|MB|，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y﹣yC＝﹣（x﹣xC）上，将该直线y＝x联立，解得xM＝＝xC，yM＝＝yC，即点M恰为AB中点，故点M在直线AB上．（2）解法二：由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②⇒③，或选由②③⇒①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为0．