专题17 概率（原卷版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题17概率目录一览2023真题展现考向一概率考向二离散型随机变量及其分布列真题考查解读近年真题对比考向一概率考向二离散型随机变量及其分布列考向三正太分布命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一概率1．（多选）（2023•新高考Ⅱ•第12题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（）A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）（1﹣β）2B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1﹣β）2C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率考向二离散型随机变量及其分布列资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023•新高考Ⅰ•第21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，⋯，n，则E（∑𝑛𝑖=1𝑋𝑖）=∑𝑛𝑖=1𝑞𝑖．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．【命题意图】概率、随机变量的分布列与数学期望．【考查要点】概率多为小题。随机变量的分布列与数学期望是高考热点之一。常考查二项分布、正态分布、超几何分布等常见的分布，多为解答题．【得分要点】1．古典概率的计算公式如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=𝑚𝑛=𝐴中所含的基本事件数基本事件总数．2．相互独立事件的概率乘法公式将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率P（A•B）＝P（A）•P（B）．3．条件概率（1）条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）条件概率的求法：①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)，其中P（A）＞0；②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）=𝑛(𝐴∩𝐵)𝑛(𝐴)．4．离散型随机变量分布列、数学期望、方差（1）离散型随机变量X的概率分布列Xx1x2…xn…Pp1p2…pn…（2）数学期望：称EX＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为X的数学期望，简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（3）方差、标准差：D(X)＝∑ni＝1(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差．（4）期望方差的性质：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a,b为常数)．5．常见随机变量的分布列（1）两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P1－pp（2）超几何分布:在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列.X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN（3）二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝CknPkqn－k，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－P.于是得到随机变量X的概率分布如下：X01…k…nPC0nP0qnC1nP1qn－1…CknPkqn－k…CnnPnq0由于CknPkqn－k恰好是二项展开式(P＋q)n＝C0nP0qn＋C1nP1qn－1＋…＋CknPkqn－k＋…＋CnnPnq0中的第k＋1项(k＝0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X为二项分布，记作X～B(n，P)．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．常见随机变量的均值与方差（1）若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．（2）若X服从两点分布，则EX＝p(p为成功概率)，DX＝p(1－p)．考向一概率3．（2022•新高考Ⅰ）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．4．（2021•新高考Ⅰ）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立考向二离散型随机变量及其分布列5．（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．6．（2021•新高考Ⅱ）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（X＝i）＝pi（i＝0，1，2，3）．（Ⅰ）已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E（X）；（Ⅱ）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E（X）≤1时，p＝1，当E（X）＞1时，p＜1；（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．考向三正太分布7．（2021•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），则下列结论中不正确的是（）A．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等8．（2022•新高考Ⅱ）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞2.5）＝．常考查古典概型正太分布等。二项分布、正态分布、超几何分布等常见的分布多为解答题．一．互斥事件与对立事件（共2小题）1．（2023•宛城区校级三模）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A＝“两次掷出的点数之和是6”，事件B＝“第一次掷出的点数是奇数”，事件C＝“两次掷出的点数相同”，则（）A．A与B互斥B．B与C相互独立C．D．A与C互斥2．（2023•五华区校级模拟）有5张奖券，其中3张可以中奖，现有5个人从中不放回地依次各随机抽取一张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件Ai＝“第i个人抽中中奖券”，则下列结论正确的是（）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．事件A1与A2互斥B．C．D．二．概率及其性质（共1小题）3．（2023•咸阳一模）某家族有X，Y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为，出现Y性状的概率为，X，Y两种性状都不出现的概率为，则该成员X，Y两种性状都出现的概率为（）A．B．C．D．三．互斥事件的概率加法公式（共2小题）4．（2023•徐汇区校级一模）某产品长度合格的概率为，重量合格的概率为，长度、重量合格的概率为，任取一件产品，已知其重量合格，则它的长度也合格的概率为．5．（2023•鲤城区校级模拟）甲箱中有2个白球和1个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑球．现从甲箱中随机取两个球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两个球．假设事件A＝“从乙箱中取出的两球都是白球”，B＝“从乙箱中取出的两球都是黑球”，C＝“从乙箱中取出的两球一个是白球一个是黑球”，其对应的概率分别为P（A），P（B），P（C），则（）A．P（A）＝P（B）B．P（A）＝P（C）C．P（B）＜P（C）D．P（C）＜P（A）四．等可能事件和等可能事件的概率（共2小题）6．（2023•昌江县二模）摆地摊的某摊（赌）主拿了8个白的，8个黑的围棋子放在一个口袋里，并规定凡愿意摸彩者每人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，中彩情况如下：摸棋子5个白4个白3个白其它彩金20元2元纪念品（价值5角）同乐一次（无任何奖品）（1）某人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，求获得彩金20元的概率；（2）某人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，求无任何奖品的概率；（3）按每天摸彩1000次统计，赌主可望净赚约多少钱？7．（2023•扬中市校级模拟）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．五．古典概型及其概率计算公式（共11小题）资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8．（2023•江苏模拟）某学习小组八名学生在一次物理测验中的得分（单位：分）如下：83，84，86，87，88，90，93，96，这八人成绩的第60百分位数是n．若在该小组随机选取两名学生，则得分都比n低的概率为（）A．B．C．D．9．（2023•广东模拟）一堆苹果中大果与小果的比例为9：1，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为5%，把小果筛选为大果的概率为2%．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（）A．B．C．D．10．（2023•扬州三模）某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步走完，则第二步走两级台阶的概率为（）A．B．C．D．11．（2023•重庆模拟）现从2个男生2个女生共4人中任意选出2人参加巴蜀中学高三年级的百日誓师大会，已知选出的2人中有一个是男生，则另一个是女生的概率为（）A．B．C．D．12．（2023•青岛一模）某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（）A．0.34B．0.37C．0.42D．0.4313．（2023•台州二模）袋子中有大小相同的5个白球和5个红