专题17 概率（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题17概率目录一览2023真题展现考向一概率考向二离散型随机变量及其分布列真题考查解读近年真题对比考向一概率考向二离散型随机变量及其分布列考向三正太分布命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一概率1．（多选）（2023•新高考Ⅱ•第12题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（）A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）（1﹣β）2B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1﹣β）2C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】ABD解：采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为：（1﹣β）（1﹣α）（1﹣β）＝（1﹣α）（1﹣β）2，故A正确；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】采用三次传输方案，若发送1，依次收到1，0，1的概率为：（1﹣β）β（1﹣β）＝β（1﹣β）2，故B正确；采用三次传输方案，若发送1，则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，故所求概率为：𝐶32𝛽(2−𝛽)2+(1−𝛽)3，故C错误；三次传输方案发送0，译码为0的概率P1=𝐶32𝛼(1−𝛼)2+(1−𝛼)3，单次传输发送0译码为0的概率P2＝1﹣α，𝑃2−𝑃1=(1−𝛼)−𝐶32𝛼(1−𝛼)2−（1﹣α）3=(1−𝛼)[1−𝐶32𝛼(1−𝛼)−(1−𝛼)2]＝（1﹣α）（2α2﹣α）＝（1﹣α）α（2α﹣1），当0＜α＜0.5时，P2﹣P1＜0，故P2＜P1，故D正确．考向二离散型随机变量及其分布列2．（2023•新高考Ⅰ•第21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，⋯，n，则E（∑𝑛𝑖=1𝑋𝑖）=∑𝑛𝑖=1𝑞𝑖．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．【解答】解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，由题意得P＝0.5×0.4+0.5×0.8＝0.6；（2）由题意设Pn为第n次投篮的是甲，则Pn+1＝0.6Pn+0.2（1﹣Pn）＝0.4Pn+0.2，∴Pn+1−13=0.4（Pn−13），又P1−13=12−13=16≠0，则{Pn−13}是首项为16，公比为0.4的等比数列，∴Pn−13=16×（25）n﹣1，即Pn=13+16×（25）n﹣1，∴第i次投篮的人是甲的概率为Pi=13+16×（25）i﹣1；（3）由（2）得Pi=13+16×（25）i﹣1，由题意得甲第i次投篮次数Yi服从两点分布，且P（Yi＝1）＝1﹣P（Yi＝0）＝Pi，∴E（∑𝑛𝑖=1𝑌𝑖）＝E（Y）=∑𝑛𝑖=1𝑃𝑖，∴当n≥1时，E（Y）=∑𝑛𝑖=1𝑃𝑖=16∑𝑛𝑖=1(25)𝑖−1+𝑛3=16[1−(25)𝑛]1−25+𝑛3=518[1﹣（25）n]+𝑛3；当n＝0时，E（Y）＝0=518[1﹣（25）0]+03，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述，E（Y）=518[1﹣（25）n]+𝑛3，n∈N．【命题意图】概率、随机变量的分布列与数学期望．【考查要点】概率多为小题。随机变量的分布列与数学期望是高考热点之一。常考查二项分布、正态分布、超几何分布等常见的分布，多为解答题．【得分要点】1．古典概率的计算公式如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=𝑚𝑛=𝐴中所含的基本事件数基本事件总数．2．相互独立事件的概率乘法公式将事件A和事件B同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A•B发生的概率P（A•B）＝P（A）•P（B）．3．条件概率（1）条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．（3）条件概率的求法：①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)，其中P（A）＞0；②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）=𝑛(𝐴∩𝐵)𝑛(𝐴)．4．离散型随机变量分布列、数学期望、方差（1）离散型随机变量X的概率分布列Xx1x2…xn…Pp1p2…pn…（2）数学期望：称EX＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为X的数学期望，简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（3）方差、标准差：D(X)＝∑ni＝1(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差．（4）期望方差的性质：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a,b为常数)．5．常见随机变量的分布列资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P1－pp（2）超几何分布:在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列.X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN（3）二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝CknPkqn－k，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－P.于是得到随机变量X的概率分布如下：X01…k…nPC0nP0qnC1nP1qn－1…CknPkqn－k…CnnPnq0由于CknPkqn－k恰好是二项展开式(P＋q)n＝C0nP0qn＋C1nP1qn－1＋…＋CknPkqn－k＋…＋CnnPnq0中的第k＋1项(k＝0，1，2，…，n)中的值，故称随机变量X为二项分布，记作X～B(n，P)．6．常见随机变量的均值与方差（1）若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．（2）若X服从两点分布，则EX＝p(p为成功概率)，DX＝p(1－p)．考向一概率3．（2022•新高考Ⅰ）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式，其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，故所求概率为．故选：D．4．（2021•新高考Ⅰ）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立【解答】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），两点数和为7的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），P（甲）＝，P（乙）＝，P（丙）＝＝，P（丁）＝＝，A：P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），B：P（甲丁）＝＝P（甲）P（丁），C：P（乙丙）＝≠P（乙）P（丙），D：P（丙丁）＝0≠P（丙）P（丁），故选：B．考向二离散型随机变量及其分布列5．（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．【解答】解：（1）由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，则P（X＝0）＝1﹣0.8＝0.2，P（X＝20）＝0.8×（1﹣0.6）＝0.32P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为：X020100P0.20.320.48（2）由（1）可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E（X）＝0×0.2+20×0.32+100×0.48＝54.4，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P（Y＝0）＝1﹣0.6＝0.4，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】P（Y＝80）＝0.6×（1﹣0.8）＝0.12，P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，则Y的期望为E（Y）＝0×0.4+80×0.12+100×0.48＝57.6，因为E（Y）＞E（X），所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．6．（2021•新高考Ⅱ）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（X＝i）＝pi（i＝0，1，2，3）．（Ⅰ）已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E（X）；（Ⅱ）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E（X）≤1时，p＝1，当E（X）＞1时，p＜1；（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．【解答】（Ⅰ）解：由题意，p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，故E（X）＝0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1＝1；（Ⅱ）证明：由题意可知，p0+p1+p2+p3＝1，则E（X）＝p1+2p2+3p3，所以p0+p1x+p2x2+p3x3＝x，变形为p0﹣（1﹣p1）x+p2x2+p3x3＝0，所以p0+p2x2+p3x3﹣（p0+p2+p3）x＝0，即p0（1﹣x）+p2x（x﹣1）+p3x（x﹣1）（x+1）＝0，即（x﹣1）[p3x2+（p2+p3）x﹣p0]＝0，令f（x）＝p3x2+（p2+p3）x﹣p0，若p3≠0时，则f（x）的对称轴为，注意到f（0）＝﹣p0≤0，f（1）＝2p3+p2﹣p0＝p1+2p2+3p3﹣1＝E（X）﹣1，若p3＝0时，f（1）＝E（X）﹣1，当E（X）≤1时，f（1）≤0，f（x）＝0的正实根x0≥1，原方程的最小正实根p＝1，当E（X）＞1时，f（