搜索
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题18排列组合与二项式定理目录一览2023真题展现考向一排列组合真题考查解读近年真题对比考向一排列组合考向二二项式定理命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一排列组合1．（2023•新高考Ⅱ•第3题）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）A．𝐶40045⋅𝐶20015种B．𝐶40020⋅𝐶20040种C．𝐶40030⋅𝐶20030种D．𝐶40040⋅𝐶20020种【答案】D解：∵初中部和高中部分别有400和200名学生，∴人数比例为400：200＝2：1，则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，则有𝐶40040⋅𝐶20020种．2．（2023•新高考Ⅰ•第13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．【答案】64解：若选2门，则只能各选1门，有𝐶41𝐶41=16种，如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，则有𝐶41𝐶42+𝐶42𝐶41=24+24＝48，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上共有16+48＝64种不同的方案．【命题意图】考查二项式定理、排列组合。考查二项式定理公式和应用排列组合计算【考查要点】二项展开基本定理，还会涉及到三项展开，考查特定项、特定项的系数、二项式系数，同时会涉及到赋值法的应用，排列组合常以现实生活、社会热点为载体．多为小题．【得分要点】1．排列组合问题的一些解题技巧（1）特殊元素优先安排．（2）合理分类与准确分步．（3）排列、组合混合问题先选后排．（4）相邻问题捆绑处理．（5）不相邻问题插空处理．（6）定序问题除法处理．（7）分排问题直排处理．（8）“小集团”排列问题先整体后局部．（9）构造模型．（10）正难则反、等价转化．2．排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法．（2）排除法．（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”．（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”．（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则．（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法．（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有𝐶𝑘𝑛𝑛𝐶(𝑘−1)𝑛𝑛⋯𝐶𝑛𝑛𝐴𝑘𝑘．（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题．（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】排在某r个指定位置则有𝐴𝑟𝑟𝐴𝑛−𝑟𝑘−𝑟．（10）指定元素排列组合问题：①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列C𝑟𝑟C𝑛−𝑟𝑘−𝑟A𝑘𝑘；组合C𝑟𝑟C𝑛−𝑟𝑘−𝑟．②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列C𝑛−𝑟𝑘A𝑘𝑘；组合C𝑛−𝑟𝑘．③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列C𝑟𝑠C𝑛−𝑟𝑘−𝑠A𝑘𝑘；组合C𝑟𝑠C𝑛−𝑟𝑘−𝑠．3．二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Crn(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．式中的Crnan－rbr叫做二项式展开式的第r＋1项(通项)，用Tr＋1表示，即展开式的第r＋1项；Tr＋1＝Crnan－rbr．考向一排列组合3．（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种【解答】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有＝48种情况，甲站在两端的情况有＝24种情况，∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48﹣24＝24种，故选：B．考向二二项式定理4．（2022•新高考Ⅰ）（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为（用数字作答）．【解答】解：（x+y）8的通项公式为Tr+1＝C8rx8﹣ryr，当r＝6时，，当r＝5时，，∴（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为＝．故答案为：﹣28．二项展开基本定理考查特定项、特定项的系数、二项式系数，同时会涉及到赋值法的应用。排列组合资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】常以现实生活为载体．多为小题．一．计数原理的应用（共4小题）1．（多选）（2023•罗定市校级模拟）将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（）A．CCCCB．CAC．CCAD．18【解答】解：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：（1）分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，有C42种分组方法；②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A33种放法；则没有空盒的放法有CA种；（2）分2步进行分析：①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有CC种情况②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A22种放法；则没有空盒的放法有CCA22种；故选：BC．2．（2023•汕头二模）电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255．在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（）A．2563B．27C．2553D．6【解答】解：分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，根据分步乘法计数原理得，共可配成256×256×256＝2563种颜色．故选：A．3．（2023•盐都区校级三模）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种．【解答】解：最左端排甲，共有A55＝120种，最左端排乙，最右端不能排甲，有C41A44＝96种，根据加法原理可得，共有120+96＝216种．故答案为：216．4．（2023•定远县校级模拟）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5种颜色的“每资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】日坚果”袋．每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果．小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（）A．20160B．20220C．20280D．20340【解答】解：依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，则每个字母出现2次或4次，分类计算分堆可能：（1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z，若是“8＝4+1+1+1+1”，则其中的“4”必须是HYXZ，故1种可能；若是“8＝3+2+1+1+1”，则考虑（HYX）（Z※）（※）（※），故有种可能；小计：1+12+12＝25；（2）诸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”类型，若是“10＝4+3+1+1+1”，则四个H无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放H，故0种可能；若是“10＝4+2+2+1+1”，则“1+1”中有一个是；若是“10＝3+3+2+1+1”，则“1+1”中各有1个H，“3+3+2”中各一个H，可以考虑含※模式，（H※※）（H※※）（H※）（※）（H），故有种可能；若是“10＝3+2+2+2+1”，则可用下表进一步分类，有种可能；若是“10＝2+2+2+2+2”，则四个H至少有两个出现搭配相同，故0种可能；小计：；（3）诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”类型，若是“12＝4+4+2+1+1”，则“4+4”必然重复，故0种可能；若是“12＝4+3+3+1+1”，则枚举“3+3”的情况，发现仅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（HYX）（Z）（X）可能；若是“12＝4+3+2+2+1”，则考虑（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），有种可能；若是“12＝4+3+2+2+1”，则考虑（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），若是“12﹣3+3+3+2+1”，则有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）（ZXY）（HY）（H）都成立，有2种可能；若是“12＝3+3+2+2+2”，则枚举“3+3”的情况，发现（HYX）（HYZ）（HY）（H※）（Y※），有2资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】种可能．小计；诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z”类型若是“14＝4+4+*+*+*”，则“4+4”必然重复，故0种可能；若是“14＝4+3+3+3+1”，则“4+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；若是“14＝4+3+3+2+2”，则“4+3+3”至少有2个Z，考虑（HYXZ）（HYX）（Z※※）（※※）（※※），其中Z※※有种可能，故此小类有3种可能；若是“14＝3+3+3+3+2”，则“3+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；小计；（5）“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z“只有“16＝4+3+3+3+3”的搭配，有1种可能；综上：共有25+76+54+12+1＝168个分堆可能，故不同的方案数为种．故选：A．二．排列及排列数公式（共3小题）5．（2023•荔湾区校级模拟）设a∈N+，且a＜27，则（27﹣a）（28﹣a）（29﹣a）…（34﹣a）等于（）A．B．C．D．【解答】解：a∈N+，且a＜27，（27﹣a）（28﹣a）（29﹣a）…（34﹣a）＝．故选：D．6．（2023•安化县校级模拟）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种B．960种C．1008种D．1108种【解答】解：分两类：第一类：甲乙相邻排1、2号或6、7号，这时先排甲和乙，有2×种，然后排丁，有种，剩下其他四个人全排列有种，因此共有2×A22A41A44＝384种方法第二类：甲乙相邻排中间，若丙排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×种，然后丙在7号，剩下四个人全排列有种，若丙不排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×种，然后排丙，丙不再1号和7号，有资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】种，接着排丁，丁不排在10月7日，有种，剩下3个人全排列，有种，因此共有（4A22A44+4A22A31A31A33）＝624种方法，故共有1008种不同的排法故选：C．7．（2023•洪山区校级模拟）已知m，n，p均为正整数，则满足m!+n!＝5p的一组解为（m，n，p）＝．【解答】解：当m≥5时，m!的尾数为0，而5p尾数为5，∴m，n≤4，然后取m，n，p一一检验可得，（m，n，p）＝（1，4，2）或（4，1，2）．故答案为：（1，4，2）或（4，1，2）（写一个即可）．三．组合及组合数公式（共4小题）8．（2023•沙河口区校级一模）的值是．【解答】解：由已知可得，＝＝（1﹣