专题02 函数的基本概念与基本初等函数I（解析版）

资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题02函数的基本概念与基本初等函数I考点一函数的值域1．（2019•上海）下列函数中，值域为[0，)的是()A．2xyB．12yxC．tanyxD．cosyx【解析】A，2xy的值域为(0,)，故A错B，yx的定义域为[0，)，值域也是[0，)，故B正确．C，tanyx的值域为(,)，故C错资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】2D，cosyx的值域为[1，1]，故D错．故选：B．2．（2023•上海）已知函数1,0,()2,0xxfxx„，则函数()fx的值域为．【解析】当0x„时，()1fx，当0x时，()21xfx，所以函数()fx的值域为[1，)．故答案为：[1，)．3．（2022•上海）设函数()fx满足1()()1fxfx对任意[0x，)都成立，其值域是fA，已知对任何满足上述条件的()fx都有{|()yyfx，0}fxaA剟，则a的取值范围为．【解析】法一：令11xx，解得512x（负值舍去），当151[0,]2x时，21151[,1]12xx，当151(,)2x时，21151(0,)12xx，且当151(,)2x时，总存在21151(0,)12xx，使得12()()fxfx，故51|(),02fyyfxxA剟，若512a，易得51()|(),02fyyfxxa剟，所以512a…，即实数a的取值范围为51[,)2；法二：原命题等价于任意10,()()1afxafxa，所以11(1)1axaxaa剠恒成立，即1(1)0aa„恒成立，又0a，所以512a…，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】3即实数a的取值范围为51[,)2．故答案为：51[,)2．考点二函数的图象与图象的变换4．（2021•浙江）已知函数21()4fxx，()singxx，则图象为如图的函数可能是()A．1()()4yfxgxB．1()()4yfxgxC．()()yfxgxD．()()gxyfx【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，因为21()4fxx为偶函数，()singxx为奇函数，函数21()()sin4yfxgxxx为非奇非偶函数，故选项A错误；函数21()()sin4yfxgxxx为非奇非偶函数，故选项B错误；函数21()()()sin4yfxgxxx，则212sin()cos04yxxxx对(0,)4x恒成立，则函数()()yfxgx在(0,)4上单调递增，故选项C错误．故选：D．5．（2020•浙江）函数cossinyxxx在区间[，]上的图象可能是()资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】4A．B．C．D．【解析】()cossinyfxxxx，则()cossin()fxxxxfx，()fx为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C，D，当x时，()cossin0yf，故排除B，故选：A．6．（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数1xya，1log()(02ayxa且1)a的图象可能是()A．B．C．D．【解析】由函数1xya，1log()2ayx，当1a时，可得1xya是递减函数，图象恒过(0,1)点，函数1log()2ayx，是递增函数，图象恒过1(2，0)；资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】5当10a时，可得1xya是递增函数，图象恒过(0,1)点，函数1log()2ayx，是递减函数，图象恒过1(2，0)；满足要求的图象为：D故选：D．考点三．复合函数的单调性7．（2023•新高考Ⅰ）设函数()()2xxafx在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是()A．(，2]B．[2，0)C．(0，2]D．[2，)【解析】设2()txxaxax，对称轴为2ax，抛物线开口向上，2ty是t的增函数，要使()fx在区间(0,1)单调递减，则2txax在区间(0,1)单调递减，即12a…，即2a…，故实数a的取值范围是[2，)．故选：D．8．（2020•海南）已知函数2()(45)fxlgxx在(,)a上单调递增，则a的取值范围是()A．(2,)B．[2，)C．(5,)D．[5，)【解析】由2450xx，得1x或5x．令245txx，外层函数ylgt是其定义域内的增函数，要使函数2()(45)fxlgxx在(,)a上单调递增，则需内层函数245txx在(,)a上单调递增且恒大于0，则(a，)(5，)，即5a…．a的取值范围是[5，)．故选：D．考点四函数的最值及其几何意义资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】69．（2021•新高考Ⅰ）函数()|21|2fxxlnx的最小值为．【解析】法一、函数()|21|2fxxlnx的定义域为(0,)．当102x„时，()|21|2212fxxlnxxlnx，此时函数()fx在(0，1]2上为减函数，当12x时，()|21|2212fxxlnxxlnx，则22(1)()2xfxxx，当1(2x，1)时，()0fx，()fx单调递减，当(1,)x时，()0fx，()fx单调递增，()fx在(0,)上是连续函数，当(0,1)x时，()fx单调递减，当(1,)x时，()fx单调递增．当1x时()fx取得最小值为f（1）211211ln．故答案为：1．法二、令()|21|gxx，()2hxlnx，分别作出两函数的图象如图：由图可知，()fxf…（1）1，则数()|21|2fxxlnx的最小值为1．故答案为：1．10．（2019•浙江）已知aR，函数3()fxaxx．若存在tR，使得2|(2)()|3ftft„，则实数a的最大值是．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】7【解析】存在tR，使得2|(2)()|3ftft„，即有332|(2)(2)|3attatt„，化为22|2(364)2|3att„，可得2222(364)233att剟，即224(364)33att剟，由223643(1)11ttt…，可得403a„，可得a的最大值为43．故答案为：43．考点五函数奇偶性的性质与判断11．（2023•新高考Ⅱ）若21()()21xfxxalnx为偶函数，则(a)A．1B．0C．12D．1【解析】由21021xx，得12x或12x，由()fx是偶函数，()()fxfx，得2121()()2121xxxalnxalnxx，即121212121()()()()()21212121xxxxxalnxalnxalnxalnxxxx，xaxa，得aa，得0a．故选：B．12．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数()A．3yxB．3yxC．3logyxD．3xy【解析】3yx在R上单调递减且为奇函数，A符合题意；因为3yx在R上是增函数，B不符合题意；资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】83logyx，3xy为非奇非偶函数，C不符合题意；故选：A．13．（2019•上海）已知R，函数2()(6)sin()fxxx，存在常数aR，使()fxa为偶函数，则的值可能为()A．2B．3C．4D．5【解析】由于函数2()(6)sin()fxxx，存在常数aR，()fxa为偶函数，则：2()(6)sin[()]fxaxaxa，由于函数为偶函数，故：6a，所以：62k，当1k时．4故选：C．14．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():fx．①1212()()()fxxfxfx；②当(0,)x时，()0fx；③()fx是奇函数．【解析】2()fxx时，22212121212()()()()fxxxxxxfxfx；当(0,)x时，()20fxx；()2fxx是奇函数．故答案为：2()fxx．另解：幂函数()(0)afxxa即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，综上所述，取2()fxx即可．15．（2021•新高考Ⅰ）已知函数3()(22)xxfxxa是偶函数，则a．【解析】函数3()(22)xxfxxa是偶函数，3yx为R上的奇函数，故22xxya也为R上的奇函数，所以000|2210xyaa，所以1a．法二：因为函数3()(22)xxfxxa是偶函数，所以()()fxfx，即33(22)(22)xxxxxaxa，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】9即33(22)(22)0xxxxxaxa，即3(1)(22)0xxax，所以1a．故答案为：1．16．（2023•上海）已知a，cR，函数2(31)()xaxcfxxa．（1）若0a，求函数的定义域，并判断是否存在c使得()fx是奇函数，说明理由；（2）若函数过点(1,3)，且函数()fx与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围．【解析】（1）若0a，则2()1xxccfxxxx，要使函数有意义，则0x，即()fx的定义域为{|0}xx，cyxx是奇函数，1y是偶函数，函数()1cfxxx为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c，使得()fx是奇函数．（2）若函数过点(1,3)，则f（1）13132311acacaa，得3233aca，得321c，此时2(31)1()xaxfxxa，若数()fx与x轴负半轴有两个不同交点，即2(31)1()0xaxfxxa，得2(31)10xax，当0x时，有两个不同的交点，设2()(31)1gxxax，则21212(31)4010(31)03102axxxxaa，得312312310aaa或，得11313aaa或，即13a，若0xa即xa是方程2(31)10xax的根，则2(31)10aaa，即2210aa，得12a或1a，则实数a的取值范围是13a且12a且1a，即1(3，11)(22，)．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】10考点六奇偶性与单调性的综合17．（2021•新高考Ⅱ）已知函数()fx的定义域为(()Rfx不恒为0)，(2)fx为偶函数，(21)fx为奇函数，则()A．1()02fB．(1)0fC．f（2）0D．f（4）0【解析】函数(2)fx为偶函数，(2)(2)fxfx，(21)fx为奇函数，(12)(21)fxfx，用x替换上式中21x，得(2)()fxfx，(2)()fxfx，(4)(2)()fxfxfx，即()(4)fxfx，故函数()fx是以4为周期的周期函数，(21)fx为奇函数，(12)(21)fxfx，即(21)(21)0fxfx，用x替换上式中21x，可得，()(2)0fxfx，()fx关