专题04 立体几何（解析版）

资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题04立体几何考点一空间几何体的侧面积和表面积1．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2B．22C．4D．42【解析】由题意，设母线长为l，因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有22l，解得22l，所以该圆锥的母线长为22．故选：B．2．（2022•上海）已知圆柱的高为4，底面积为9，则圆柱的侧面积为．【解析】因为圆柱的底面积为9，即29R，所以3R，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】2所以224SRh侧．故答案为：24．3．（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则ABC的面积的取值范围为．【解析】如图1，上底面圆心记为O，下底面圆心记为O，连接OC，过点C作CMAB，垂足为点M，则12ABCSABCM，根据题意，AB为定值2，所以ABCS的大小随着CM的长短变化而变化，如图2所示，当点M与点O重合时，22125CMOC，此时ABCS取得最大值为12552；如图3所示，当点M与点B重合，CM取最小值2，此时ABCS取得最小值为12222．综上所述，ABCS的取值范围为[2,5]．故答案为：[2,5]．4．（2021•上海）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为．【解析】圆柱的底面半径为1r，高为2h，所以圆柱的侧面积为22124Srh侧．故答案为：4．5．（2019•上海）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为()A．1B．2C．4D．8【解析】如图，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】3则21142133V，22121233V，两个圆锥的体积之比为43223．故选：B．6．（2020•浙江）已知圆锥的侧面积（单位：2)cm为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：)cm是．【解析】圆锥侧面展开图是半圆，面积为22cm，设圆锥的母线长为acm，则2122a，2acm，侧面展开扇形的弧长为2cm，设圆锥的底面半径OCrcm，则22r，解得1rcm．故答案为：1cm．7．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．100B．128C．144D．192【解析】当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为3332sin60，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】4下底面所在平面截球所得圆的半径为4342sin60，如图，设球的半径为R，则轴截面中由几何知识可得2222341RR，解得5R，该球的表面积为24425100R．当球心在台体内时，如图，此时2222341RR，无解．综上，该球的表面积为100．故选：A．8．（2021•新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，该卫星信号覆盖地球表面的表面积22(1cos)Sr（单位：2)km，则S占地球表面积的百分比约为()A．26%B．34%C．42%D．50%【解析】由题意，作出地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，则36000640042400OP，那么64008cos4240053；资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】5卫星信号覆盖的地球表面面积22(1cos)Sr，那么，S占地球表面积的百分比为222(1cos)4542%4106rr．故选：C．考点二空间几何体的体积9．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36，且333l剟，则该正四棱锥体积的取值范围是()A．[18，81]4B．27[4，81]4C．27[4，64]3D．[18，27]【解析】如图所示，正四棱锥PABCD各顶点都在同一球面上，连接AC与BD交于点E，连接PE，则球心O在直线PE上，连接OA，设正四棱锥的底面边长为a，高为h，在RtPAE中，222PAAEPE，即2222221()22alhah，球O的体积为36，球O的半径3R，在RtOAE中，222OAOEAE，即2222(3)()2aRh，221602ahh，22162ahh，26lh，又333l剟，3922h剟，该正四棱锥体积2232112()(122)4333Vhahhhhhh，2()282(4)Vhhhhh，当342h„时，()0Vh，()Vh单调递增；当942h„时，()0Vh，()Vh单调递减，()maxVhV（4）643，又327()24V，981()24V，且278144，2764()43Vh剟，即该正四棱锥体积的取值范围是27[4，64]3，故选：C．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】610．（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为2140.0km；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为2180.0km．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(72.65)()A．931.010mB．931.210mC．931.410mD．931.610m【解析】26214014010kmm，26218018010kmm，根据题意，增加的水量约为666614010180101401018010(157.5148.5)36(140180607)10936693(320602.65)1031437101.410m．故选：C．11．（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为()A．20123B．282C．563D．2823【解析】解法一：如图1111ABCDABCD为正四棱台，2AB，114AB，12AA．在等腰梯形11ABBA中，过A作11AEAB，可得14212AE，2211413AEAAAE．连接AC，11AC，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】74422AC，11161642AC，过A作11AGAC，1422222AG，2211422AGAAAG，正四棱台的体积为：3SSSSVh下下上上22222424232823．解法二：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，该棱台的记222(222)2h，下底面面积116S，上底面面积24S，则该棱台的体积为：121211282()2(16464)333VhSSSS．故选：D．12．【多选】（2023•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：)m的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有()A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】8C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体【解析】对于A，棱长为1的正方体内切球的直径为10.99，选项A正确；对于B，如图，正方体内部最大的正四面体11DABC的棱长为221121.4，选项B正确；对于C，棱长为1的正方体的体对角线为31.8，选项C错误；对于D，如图，六边形EFGHIJ为正六边形，E，F，G，H，I，J为棱的中点，高为0.01米可忽略不计，看作直径为1.2米的平面圆，六边形EFGHIJ棱长为22米，30GFHGHF，所以6332FHFGGH米，故六边形EFGHIJ内切圆半径为62米，而2263()(1.2)1.4422，选项D正确．故选：ABD．13．【多选】（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，//FBED，2ABEDFB．记三棱锥EACD，FABC，FACE的体积分别为1V，2V，3V，则()资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】9A．322VVB．31VVC．312VVVD．3123VV【解析】设22ABEDFB，114||33ACDVSED，212||33ABCVSFB，如图所示，连接BD交AC于点M，连接EM、FM，则3FM，6EM，3EF，故1323622EMFS，31132222332EMFVSAC，故C、D正确，A、B错误．故选：CD．14．【多选】（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱111ABCABC中，11ABAA，点P满足1BPBCBB，其中[0，1]，[0，1]，则()资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】10A．当1时，△1ABP的周长为定值B．当1时，三棱锥1PABC的体积为定值C．当12时，有且仅有一个点P，使得1APBPD．当12时，有且仅有一个点P，使得1AB平面1ABP【解析】对于A，当1时，1BPBCBB，即1CPBB，所以1//CPBB，故点P在线段1CC上，此时△1ABP的周长为11ABBPAP，当点P为1CC的中点时，△1ABP的周长为52，当点P在点1C处时，△1ABP的周长为221，故周长不为定值，故选项A错误；对于B，当1时，1BPBCBB，即1BPBC，所以1//BPBC，故点P在线段11BC上，因为11//BC平面1ABC，所以直线11BC上的点到平面1ABC的距离相等，又△1ABC的面积为定值，所以三棱锥1PABC的体积为定值，故选项B正确；资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】11对于C，当12时，取线段BC，11BC的中点分别为M，1M，连结1MM，因为112BPBCBB，即1MPBB，所以1//MPBB，则点P在线段1MM上，当点P在1M处时，1111AMBC，111AMBB，又1111BCBBB，所以11AM平面11BBCC，又1BM平面11BBCC，所以111AMBM，即1APBP，同理，当点P在M处，1APBP，故选项C错误；对于D，当12时，取1CC的中点1D，1BB的中点D，因为112BPBCBB，即DPBC，所以//DPBC，则点P在线的1DD上，当点P在点1D处时，取AC的中点E，连结1AE，BE，因为BE平面11ACCA，又1AD平面11ACCA，所以1ADBE，在正方形11ACCA中，11ADAE，又1BEAEE，BE，1AE平面1ABE，故1AD平面1ABE，又1AB平面1ABE，所以11ABAD，在正方体形11ABBA中，11ABAB，又11ADABA，1AD，1AB平面11ABD，所以1AB平面11ABD，因为过定点A与定直线1AB垂直的平面有且只有一个，故有且仅有一个点P，使得1AB平面1ABP，故选项D正确．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】12故选：BD．15．（2023•新