专题09 平面向量、不等式及复数（解析版）

资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题09平面向量、不等式及复数考点一基本不等式及其应用1．（2019•上海）若x，yR，且123yx，则yx的最大值为．【解析】113222yyxx…，239()822yx„；故答案为：982．（2020•上海）下列不等式恒成立的是()A．222abab„B．222abab…C．2||abab…D．222abab„【解析】A．显然当0a，0b时，不等式222abab„不成立，故A错误；B．2()0ab…，2220abab…，222abab…，故B正确；资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】2C．显然当0a，0b时，不等式2||abab…不成立，故C错误；D．显然当0a，0b时，不等式222abab„不成立，故D错误．故选：B．3．（2022•上海）若实数a、b满足0ab，下列不等式中恒成立的是()A．2ababB．2ababC．222ababD．222abab【解析】因为0ab，所以2abab…，当且仅当ab时取等号，又0ab，所以2abab，故A正确，B错误，222222aabbab…，当且仅当22ab，即4ab时取等号，故CD错误，故选：A．4．【多选】（2020•山东）已知0a，0b，且1ab，则()A．2212ab…B．122abC．22loglog2ab…D．2ab„【解析】①已知0a，0b，且1ab，所以222()22abab„，则2212ab…，故A正确．②利用分析法：要证122ab，只需证明1ab即可，即1ab，由于0a，0b，且1ab，所以：0a，110b，故B正确．③22222loglogloglog()22ababab„，故C错误．④由于0a，0b，且1ab，利用分析法：要证2ab„成立，只需对关系式进行平方，整理得22abab„，即21ab„，故122abab„，当且仅当12ab时，等号成立．故D正确．故选：ABD．5．（2021•上海）已知函数()3(0)31xxafxa的最小值为5，则a．【解析】()33112153131xxxxaafxa…，所以9a，经检验，32x时等号成立．故答案为：9．6．【多选】（2022•新高考Ⅱ）若x，y满足221xyxy，则()资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】3A．1xy„B．2xy…C．222xy„D．221xy…【解析】方法一：由221xyxy可得，223()()122yxy，令cos23sin2yxy，则3sincos323sin3xy，3sincos2sin()[26xy，2]，故A错，B对，2222323314242(sincos)(sin)sin2cos2sin(2)[333333633xy，2]，故C对，D错，方法二：对于A，B，由221xyxy可得，22()1313()2xyxyxy„，即21()14xy„，2()4xy„，22xy剟，故A错，B对，对于C，D，由221xyxy得，222212xyxyxy„，222xy„，故C对；222xyxy„，222222223()122xyxyxyxyxy„，2223xy…，故D错误．故选：BC．考点二平面向量的线性运算7．（2020•海南）在ABC中，D是AB边上的中点，则(CB)A．2CDCAB．2CDCAC．2CDCAD．2CDCA【解析】在ABC中，D是AB边上的中点，则CBCDDBCDAD()CDACCD2CDCA．故选：C．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】48．（2019•浙江）已知正方形ABCD的边长为1．当每个(1ii，2，3，4，5，6)取遍1时，123456||ABBCCDDAACBD的最小值是，最大值是．【解析】如图，建立平面直角坐标系，则(0,0)A，(1,0)B，(1,1)C，(0,1)D，(1,0)AB，(0,1)BC，(1,0)CD，(0,1)DA，(1,1)AC，(1,1)BD，123456||ABBCCDDAACBD1356|(，2456)|2213562456()()，(*)，(*)中第一个括号中的1，3与第二个括号中的2，4的取值互不影响，只需讨论5，6的取值情况即可，当5，6同号时，不妨取51，61，则(*)式即为221324()(2)，1，2，3，4{1，1}，13，2422(1，41)时，(*)取得最小值0，当13||2（如11，31)，2422(1，41)时，(*)式取得最大值为25，当5，6异号时，不妨取51，61，则(*)式即为221224(2)()，同理可得最小值为0，最大值为25．故答案为：0；25．9．（2020•上海）已知1a，2a，1b，2b，，(*)kbkN是平面内两两互不相等的向量，满足12||1aa，且||{1ijab，2}（其中1i，2，1j，2，，)k，则k的最大值是．【解析】如图，设11OAa，22OAa，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】5由12||1aa，且||{1ijab，2}，分别以1A，2A为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k的最大值为6．故答案为：6．考点三平面向量的基本定理10．（2022•新高考Ⅰ）在ABC中，点D在边AB上，2BDDA．记CAm，CDn，则(CB)A．32mnB．23mnC．32mnD．23mn【解析】如图，1111()2222CDCAADCADBCACBCDCACBCD，1322CBCDCA，即3232CBCDCAnm．故选：B．考点四平面向量数量积的运算11．（2023•上海）已知向量(2,3)a，(1,2)b，则ab．【解析】向量(2,3)a，(1,2)b，21324ab．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】6故答案为：4．12．（2021•浙江）已知非零向量a，b，c，则“acbc”是“ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当ac且bc，则0acbc，但a与b不一定相等，故abbc不能推出ab，则“acbc”是“ab”的不充分条件；由ab，可得0ab，则()0abc，即abbc，所以ab可以推出abbc，故“acbc”是“ab”的必要条件．综上所述，“acbc”是“ab”的必要不充分条件．故选：B．13．（2021•上海）如图正方形ABCD的边长为3，求ABAC．【解析】由数量积的定义，可得cosABACABACBAC，因为cosABACBAC，所以29ABACAB．故答案为：9．14．（2021•新高考Ⅱ）已知向量0abc，||1a，||||2bc，则abbcca．【解析】方法1：由0abc得abc或acb或bca，22()()abc或22()()acb或22()()bca，又||1a，||||2bc，524ab，524ac，821bc，12ab，12ac，72bc，92abacbc．故答案为：92．方法2222()||||||014492:222abcabcabbcca．故答案为：92．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】715．（2020•上海）三角形ABC中，D是BC中点，2AB，3BC，4AC，则ADAB．【解析】在ABC中，2AB，3BC，4AC，由余弦定理得，222416911cos222416ABACBCBACABAC，111124162ABAC，且D是BC的中点，1()2ADABABACAB21()2ABABAC111(4)22194．故答案为：194．16．【多选】（2021•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点1(cos,sin)P，2(cos,sin)P，3(cos()P，sin())，(1,0)A，则()A．12||||OPOPB．12||||APAPC．312OAOPOPOPD．123OAOPOPOP【解析】法一、1(cos,sin)P，2(cos,sin)P，3(cos()P，sin())，(1,0)A，1(cos,sin)OP，2(cos,sin)OP，3(cos()OP，sin())，(1,0)OA，1(cos1,sin)AP，2(cos1,sin)AP，则221||1OPcossin，222||(sin)1OPcos，则12||||OPOP，故A正确；22221||(cos1)2cos122cosAPsincossin，22222||(cos1)(sin)2cos122cosAPcossin，12||||APAP，故B错误；31cos()0sin()cos()OAOP，12coscossinsincos()OPOP，312OAOPOPOP，故C正确；11cos0sincosOAOP，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】823coscos()sinsin()cos[()]cos(2)OPOP，123OAOPOPOP，故D错误．故选：AC．法二、如图建立平面直角坐标系，(1,0)A，作出单位圆O，并作出角，，，使角的始边与OA重合，终边交圆O于点1P，角的始边为1OP，终边交圆O于3P，角的始边为OA，交圆O于2P，于是1(cos,sin)P，3(cos()P，sin())，2(cos,sin)P，由向量的模与数量积可知，A、C正确；B、D错误．故选：AC．17．（2022•上海）若平面向量||||||abc，且满足0ab，2ac，1bc，则．【解析】由题意，有0ab，则ab，设,ac，21acbc2,1,2accosbccos①②则②①得，1tan2，由同角三角函数的基本关系得：25cos5，则25||||cos25acac，25，则45．故答案为：45．18．（2020•山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是()资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】9A．(2,6)B．(6,2)C．(2,4)D．(4,6)【解析】画出图形如图，||||cos,APABAPABAPAB，它的几何意义是AB的长度与AP在AB向量的投影的乘积，显然，P在C处时，取得最大