四点共圆练习

1/6四点共圆判定定理1：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．判定定理3：对于凸四边形ABCD，若对角互补，则A、B、C、D四点共圆.判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P，若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆。判定定理5：割线定理的逆定理：对于凸四边形ABCD两边AB、DC的延长线相交于P，若PB·PA=PC·PD，则A、B、C、D四点共圆。1：如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长2：如图，正方形ABCD的面积为5，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P，求AP的长PCDABPFEABDCPACBDPABDC2/63：如图，四边形ABCD内接于⊙O，CB=CD=4，AC与BD相交于E，AE=6，线段BE和DE的长都是正整数，求BD的长4：如图，OQ⊥AB，O为△ABC外接圆的圆心，F为直线OQ与AB的交点，BC与OQ交于P点，A、C、Q三点共线，求证：OA2=OP·OQ5：如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O切于点A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D，求证：PB：BD=PC：CDPQEFOABCECOABDEDBAOPC3/66：如图，直线AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为6cm、4cm，求P到BC的距离7：在半⊙O中，AB为直径，直线CD交半圆于C、D，交AB延长线于M（MBMA，ACMD），设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：∠MKO=90°8：如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，求：四边形ABCD的面积（用a表示）NMECBOAPKCOBADMOADBC4/6一、选择题1、设ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：(1)sinA=sinC；(2)sinA+sinC=0；(3)cosB+cosD=0；(4)cosB=cosD；其中总能成立的关系式的个数是()A、一个；B、两个；C、三个；D、四个；2、下面的四边形有外接圆的一定是()A、平行四边形；B、梯形；C、等腰梯形；D、两个角互补的四边形；3、四边形ABCD内接于圆，∠A：∠B：∠C=7：6：3，则∠D等于()A、36º；B、72º；C、144º；D、54º；4、如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=AC=AD，AH⊥CD于H，CP⊥BC交AH于P，若，AP=1，则BD等于()A、；B、2；C、3；D、；5、对于命题：①内角相等的圆内接五边形是正五边形；②内角相等的圆内接四边形是正四边形。以下四个结论中正确的是()A、①，②都对；B、①对，②错；C、①错，②对；D、①，②都错；二、填空题6、如图2，△ABC中，∠B=60º，AC=3cm，则△ABC的外接圆半径为。7、如图3，△ABC中，∠ACB=65º，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则∠AED=,∠CED=。8、如图4，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=，BD=，BE=，则AE=，DE＝。9、如图5，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内一点，且∠OPB=45º，PA：PB＝5：14，则PB=。10、如图6，四边形ABCD内接于以AD为直径的圆中，若AB和BC的长度各为1，，那么AD=。3AB227abc2cm72CD图1PHABCD图5图4图3图2OABEDDECOBCADCPBAABC图6CADB5/6三、解答题11、如图7，在△ABC中，AD为高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：B、C、F、E四点共圆。12、如图9，AB为圆的直径，AD、BC为圆的两条弦，且BD与AC相交于E。求证：AC·AE+BD·BE=AB2。图7FEDABC图9FEOABCD6/613、如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC·CD=PC·BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积S。