2014年暑假平面几何讲义：四点共圆(教师版)

EBACDEBACDBACD四点共圆文武光华数学工作室潘成华平面几何中证四点共圆的几个基本方法方法一：平面上有四点ABCD、、、,若AD,则ABCD、、、四点共圆方法二线段ACBD、交于E,若AEECBEED,则ABCD、、、四点共圆方法三线段ACBD、交于E,若AEBECEED,则ABCD、、、四点共圆方法四：若四边形ABCD,180AC，则ABCD、、、四点共圆DDOCOCBABAOCADBECOADBEDCBARQPEDCBA方法四、已知AD是ABC△内角或外角平分线，ABAC,且BDDC,则ABCD、、、四点共圆证明设BAD,因为ADADDBDC,所以sinsinsinsinBCBADCAD，所以sinsinBC，内角时180BC,外角时BC，所以ABCD、、、四点共圆托勒密定理：Tolemy(托勒密定理）若四边形ABCD是圆O内接四边形,则AD•BC+AB•CD=AC•BD证明在AC上取点E,使∠EDC=∠ADB,因为∠ABD=∠ACD,所以△ABD∼△EDC,△ADE∼△BDC，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD•BC+AB•DC=AE•BD+BD•CE=AC•BD例1、已知点DE、在ABC内，ABDCBE,BAECAD.求证ACDBCE.SEABCDEDBACKLJGFEDBAC证明(一)（文武光华数学工作室南京潘成华）作E关于BCABAC、、对称点PRQ、、,易知BRD≌BPD,ARD≌AQD,于是DPDRDQ,所以DCP≌DCQ,得到PCDQCD,进而BCEACD.证明（二）作BDS外接圆交AD延长线于S,可知ASCDBCABE,得到ABE∽ASC,所以ABS∽AEC,得到ACEASBDSB,所以BCEACD.例2、已知（文武光华数学工作室南京潘成华）E是ABC内一点，点D在BC上，且BAEDAC,EDBADC.则180AECBED证明先证明ABBEACEC,过E作ABACBC、、垂线EFEGEL、、交ABACBC、、分别于FGL、、，直线ELAD、交于J,取AF中点K,易知BFEL、、、四点共圆，EGCL、、、四点共圆，所以sinsinFLABCFLCEBEACBLGLGBECE(1),(BC、是ABC的内角)，因为EDBADC，所以ELLJ,于是//KLAJ,易知AFEG、、、四点共圆，圆心是K，BAEDAC,所以ADFG,进而//KLFG，得到KL是FG中垂线，所以FLLG，(1)得ABBEACECHPCBAD2143PCBAD2143IHPCBAD下面我们证明180AECBED，因为sinsin,ACAECEACAEsinsin,ABBAEBAEBE,两式相除得sinsinsinsinsinsinAECEACBADBAEBAEDACsinsinsinsinABBADECBDECBEDACDACBECDBEDEC,因为360AECBAEBEDDEC所以，180AECBED证明（二）在AB取H,使得AHBPDB,所以AHP∽ADC,进而得到AHD∽APC,易知HPDB、、、四点共圆，所以180APCBPDBHDAHD例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知，D是ABC底边BC上任一点，P是形内一点，满足12，34。求证：PBABPCAC。证明作BPDCPD、外接圆交ABAC、分别于HI、，易知AHP∽ADC,所以AHD∽APC，所以ACADPCDH（1）,易知API∽ABD,进而得到ABP∽ADI,所以ABADBPDI（2）,易知AHPI、、、四点共圆，所以AHIAPIABC,所以GIDHBACFIDHCABIDHCAB//HIBC,334IHDHDBHDPHBPADIIDCHID,所以HDID,进而根据（1）、（2）得到PBABPCAC。例4、已知ABC是锐角三角形，AD是BC边上中线，H是ABC垂心，HIAD于点I，求证BCHI、、、四点共圆证明（一）：延长AD到G使得=ADDG,易知四边形ABGC是平行四边形，因为CHAB，BHAC,所以90HBGHCG,得到IBGCH、、、、，所以BCHI、、、四点共圆证明（二）HACHBDBFD,所以FD是⊙()AIHF切线，所以22DCFDDIDA,所以DIC∽DCA,得到DCADACBHI,所以BCHI、、、四点共圆第四题、第51届波兰数学奥林匹克，1999例5、已知在ABC中，ABAC,点P在ABC内部，点D是BC中点，CBPACP.求证180BPDAPC.DCBAPyyxxθγβαDCBAPGFDBCAP证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设ACPx,ABPy,BPD,DPC,APB,APC,因为BDCD,可知sinsinBPPC，可知sinsinsinsinyx,（1），APAPABAC,可知sinsinsinsinyx得到sinsinsinsinyx（2），根据（1）、（2）得sinsinsinsin180，即180BPDAPC。证明(二)（文武光华数学工作室潘成华给出）延长CP交以A为圆心，AB为半径的圆于F,直线FA交BP于G,FACPPBC,,因此GPCB,于是G在⊙A上，PFG∽PBC,所以APF∽DPB,可知APFBPD,即180BPDAPCAPFAPC,得证例6、已知M是ABC边BC中点，AM交ABC外接圆⊙O于D,过点D作//DEBC交⊙O于E,在AD上取点F,使得FCAC.求证AFCEFCFEDMOCBAPFEDMOCBASNFEDMCBAJFEDMCBA证明(一)（文武光华数学工作室南京潘成华）因为//DEBC,点M是BC中点，所以ABEC是调和四边形，易知直线AE、过点BC、切线共点，得到MC平分AMC,1902ECFABEOAEPMEEMF,因此C是EMF旁心，进而AFCEFC.证明（二）因为M是ABC边BC中点，所以ABDACDSS,得到ABBDACCD,易知BCED是等腰梯形，所以ABCEACBE,根据托勒密定理可知2+=2ABCEABCEACBEAEBCBMAE,得到ABCEBMAE，ABMAEC,所以ABM∽AEC，所以EACBAD,可知EABCAD,取AE中点S,同理可得ACSECBBAEDAC,所以CS与AD交点设为N,则N为AF中点，所以//CNEF,于是EFCNCFAFC证明（三）（田开斌老师）作//CJBD交AD于J，所以CJBDCE,JCEBDCBCE,909090AFCDACDBCECBJEC,所以JFEC、、、四点共圆，因为JCEC,所以AFCEFCO1OO2DBCAO1OO2DBCAEO1OO2DACBEPFOCADBGKEPFOCADBG例7、已知AD是ABC角平分线交BC于D，ABDACDABC、、外心分别是12OOO、、,求证12=OOOO证明易知1119090902OABAOOADCBBACOACDACOAD，2190902BAOAOBCDAO,所以12=OAOOAO（1），又12AOOADCAOOADB、，于是12++=180AOOAOOADCADB，所以12AOOO、、、四点共圆，根据（1）得到12=OOOO证明（二）记ABC三角ABC、、，设直线12BOCO、交于E，2BCECACO(90)CADC1(90)2CBA2BCA,同理·2BCAEBC,所以BECE，12BOOADCCOOADB、，12++=180BOOCOOADCADB所以12EOOO、、、四点共圆得到12=OOOO例8、已知⊙P、⊙O交于AB、,四边形ABCD是平行四边形，C在⊙O上，PFBC交AB于F,直线CF交⊙O于G.求证EGDC、、、四点共圆IOCABDIOCABMLEDCBAPNMLEDCBAP证明延长DA交⊙P于点K,连接KEKB、，易知AKBE是等腰梯形，DKEC是等腰梯形，CFFGAFFBEFFK,所以KGEC、、、四点共圆，因此KGECD、、、、五点共圆,进而EGDC、、、四点共圆例9、已知OI、分别是ABC外心，内心，求证OIAI的充要条件是2ABACBC,证明延长AI交圆O于D,根据托勒密定理，AB•DC+AC•BD=AD•BC(1),因为OI⊥AI，所以AI=ID,由（1）得：（AB+AC)•BD=BC•2DI,因为∠BID=∠IBD,于是BD=DI,所以AB+AC=2BC此题，若O，I分别是△ABC外心，内心，AB+AC=2BC，求证OI⊥AI证明方法是一样的例10、P为ABC外接圆上一点，P在BCAC、上的射影为DE、.点LM、分别是ADBE、中点。证明DELM.PBATOISRQPBATOIS证明取AB中点N，连接MNNLAPBP、、、,易知BPD∽APE，所以DPBDPEAE,所以DPNLPEMN,可知MNL∽EPD,所以DELM第十题、已知M是ABC边BC中点，AM交ABC外接圆⊙O于D,过点D作//DEBC交⊙O于E,在AD上取点F,使得FCAC.求证AFCEFC例11、已知（文武光华数学工作室南京潘成华）⊙O、⊙I外切于S,⊙O弦AB切⊙I于T,点P是AI延长线上一点,求证BPAB充要条件是TSSP.（2014688：49于镇江大港中学）证明（文武光华数学工作室南京潘成华）过S作两圆公切线交AT于Q,线段ASQI、交于R,TSSP等价于//IRPS,等价于AIARAPAS,因为QTRQSAABS,得到//TRBS,因此，AIARAPAS等价于AIATAPAP,等价于//ITBP,即BPABGDFEHBACMNJGDFEOHBACBCAFENBCMLAFEKD例12、刚才看了一下2014年第5期《中等数学》数学奥林匹克问题（高）383，不难，我把解答写一下已知H是锐角ABC的垂心，以AHAB、为直径的圆交BHC外接圆于DE、,直线AD交BC于G,直线AEHC、交于F,求证//GFBH证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设BHC外接圆为⊙O,直线AG交⊙O于N,所以HON、、共线，延长CH交AB于点M,易知AMHD、、、四点共圆，所以BADDHCANC,所以//ABCN,同理//BNAC,所以ABNC是平行四边形，得到G是BCAN、中点，连接AF交⊙O于J,因为BEAF,可知BOJ、、共线，所以OG是AHNBJC、中位线，得到AHCJ、平行且相等，所以F是HC中点，可知//GFBH例13、（文武光华数学工作室南京潘成华）设ABC周长为2p，AEAFpAC，求证ABC的C旁切圆与ABC外接圆外切。（2014-6-128：56）证明设ABC的C旁切圆切直线EFABAC、、于DLM、、,AC交AEF外接圆于N,直线AD交ABC的C旁切圆于K,22AFALADAK,所以AFD∽AKF,所以180AKFAFDAEFANF,所以点