2019年高考全国1卷理科数学及答案

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合}242{60{}MxxNxxx=−=−−，，则MN∩=A．}{43xx−B．}42{xx−−C．}{22xx−D．}{23xx2．设复数z满足=1iz−，z在复平面内对应的点为（x，y），则A．22+11()xy+=B．221(1)xy+=−C．22(1)1yx+−=D．22(+1)1yx+=3．已知0.20.32log0.220.2abc===，，，则A．abcB．acbC．cabD．bca4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512−（512−≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512−．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm5．函数f（x）=2sincos++xxxx在[,]−ππ的图像大致为A．B．C．D．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B．1132C．2132D．11167．已知非零向量a，b满足||2||=ab，且()−ab⊥b，则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A．A=12A+B．A=12A+C．A=112A+D．A=112A+9．记nS为等差数列{}na的前n项和．已知4505Sa==，，则A．25nan=−B．310nan=−C．228nSnn=−D．2122nSnn=−10．已知椭圆C的焦点为121,01,0FF−()，()，过F2的直线与C交于A，B两点．若22||2||AFFB=，1||||ABBF=，则C的方程为A．2212xy+=B．22132xy+=C．22143xy+=D．22154xy+=11．关于函数()sin|||sin|fxxx=+有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（2π,π）单调递增③f（x）在[,]−ππ有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A．68πB．64πC．62πD．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线23()exyxx=+在点(0)0，处的切线方程为______．14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若214613aaa==，，则S5=_______．15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是_______．16．已知双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若1FAAB=，120FBFB⋅=，则C的离心率为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC−=−．（1）求A；（2）若22abc+=，求sinC．18．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．19．（12分）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3APPB=，求|AB|．20．（12分）已知函数()sinln(1)fxxx=−+，()fx′为()fx的导数．证明：（1）()fx′在区间(1,)2π−存在唯一极大值点；（2）()fx有且仅有2个零点．21．（12分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1−分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1−分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)ipi=⋯表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p=，81p=，11iiiipapbpcp−+=++(1,2,,7)i=⋯，其中(1)aPX==−，(0)bPX==，(1)cPX==．假设0.5α=，0.8β=．（i）证明：1{}(0,1,2,,7)iippi+−=⋯为等比数列；（ii）求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt−=+=+，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110ρθρθ++=．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）222111abcabc++≤++；（2）333()()()24abbcca+++≥++．2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学•参考答案一、选择题1．C2．C3．B4．B5．D6．A7．B8．A9．A10．B11．C12．D二、填空题13．y=3x14．121315．0.1816．2三、解答题17．解：（1）由已知得222sinsinsinsinsinBCABC+−=，故由正弦定理得222bcabc+−=．由余弦定理得2221cos22bcaAbc+−==．因为0180A°°，所以60A°=．（2）由（1）知120BC°=−，由题设及正弦定理得()2sinsin1202sinACC°+−=，即631cossin2sin222CCC++=，可得()2cos602C°+=−．由于0120C°°，所以()2sin602C°+=，故()sinsin6060CC°°=+−()()sin60cos60cos60sin60CC°°°°=+−+624+=．18．解：（1）连结B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D．由题设知A1B1=DC，可得B1C=A1D，故ME=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN⊄平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．（2）由已知可得DE⊥DA．以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则(2,0,0)A，A1（2,0,4），(1,3,2)M，(1,0,2)N，1(0,0,4)AA=−，1(1,3,2)AM=−−，1(1,0,2)AN=−−，(0,3,0)MN=−．设(,,)xyz=m为平面A1MA的法向量，则1100AMAA⋅=⋅=mm，所以32040xyzz−+−=−=，．可取(3,1,0)=m．设(,,)pqr=n为平面A1MN的法向量，则100MNAN⋅=⋅=，．nn所以3020qpr−=−−=，．可取(2,0,1)=−n．于是2315cos,||525⋅〈〉===×‖mnmnmn，所以二面角1AMAN−−的正弦值为105．19．解：设直线()()11223:,,,,2lyxtAxyBxy=+．（1）由题设得3,04F，故123||||2AFBFxx+=++，由题设可得1252xx+=．由2323yxtyx=+=，可得22912(1)40xtxt+−+=，则1212(1)9txx−+=−．从而12(1)592t−−=，得78t=−．所以l的方程为3728yx=−．（2）由3APPB=可得123yy=−．由2323yxtyx=+=，可得2220yyt−+=．所以122yy+=．从而2232yy−+=，故211,3yy=−=．代入C的方程得1213,3xx==．故413||3AB=．20．解：（1）设()()gxf'x=，则1()cos1gxxx=−+，21sin())(1x'xgx=−++.当1,2xπ∈−时，()g'x单调递减，而(0)0,()02g'g'π，可得()g'x在1,2π−有唯一零点，设为α.则当(1,)xα∈−时，()0g'x；当,2xαπ∈时，()0g'x.所以()gx在(1,)α−单调递增，在,2απ单调递减，故()gx在1,2π−存在唯一极大值点，即()f'x在1,2π−存在唯一极大值点.（2）()fx的定义域为(1,)−+∞.（i）当(1,0]x∈−时，由（1）知，()f'x在(1,0)−单调递增，而(0)0f'=，所以当(1,0)x∈−时，()0f'x，故()fx在(1,0)−单调递减，又(0)=0f，从而0x=是()fx在(1,0]−的唯一零点.（ii）当0,2xπ∈时，由（1）知，()f'x在(0,)α单调递增，在,2απ单调递减，而(0)=0f'，02f'π，所以存在,2βαπ∈，使得()0f'β=，且当(0,)xβ∈时，()0f'x；当,2xβπ∈时，()0f'x.故()fx在(0,)β单调递增，在,2βπ单调递减.又(0)=0f，1ln1022fππ=−+，所以当0,2xπ∈时，()0fx.从而，()fx在0,2