2017年高考北京理科数学试卷

2017年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.（2017北京卷理）若集合–21{|}Axx，{|–1Bxx或3}x，则AB=（）A.1|}–2{xxB.3|}–2{xxC.1|}–1{xxD.3|}1{xx【答案】：A【解析】：21ABxx，故选A．【考点】：集合的基本运算【难度】：易2.（2017北京卷理）若复数1iia在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A.,1B.,1C.1,D.1,【答案】：B【解析】：1ii11izaaa，因为对应的点在第二象限，所以1010aa，解得：1a，故选B．【考点】：复数代数形式的四则运算【难度】：易3.（2017北京卷理）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A.2B.32C.53D.85【答案】：C【解析】：0k时，03成立，第一次进入循环111,21ks，13成立，第二次进入循环,2132,22ks，23成立，第三次进入循环31523,332ks，33否，输出53s，故选C．【考点】：程序框图【难度】：易4.（2017北京卷理）若x，y满足32xxyyx，，，则2xy的最大值为（）A.1B.3C.5D.9【答案】：D【解析】：如图，画出可行域，2zxy表示斜率为12的一组平行线，当过点3,3C时，目标函数取得最大值max3239z，故选D．【考点】：二元一次不等式组与简单的线性规划【难度】：易5.（2017北京卷理）已知函数1()3()3xxfx，则()fx（）A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数【答案】：A【解析】：113333xxxxfxfx，所以函数是奇函数，并且3x是增函数,13x是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数故选A．【考点】：函数奇偶性+单调性【难度】：易6.（2017北京卷理）设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“0mn的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】：A【解析】：若0，使mn，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800mnmnmn，反过来，若0mn，那么两向量的夹角为0090,180，并不一定反向，即不一定存在负数，使得mn，所以是充分不必要条件，故选A．【考点】：向量、不等式、逻辑运算【难度】：易7.（2017北京卷理）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A.32B.23C.22D.2【答案】：B【解析】：几何体是四棱锥，如图，红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，22222223l，故选B．【考点】：三视图【难度】：易8．（2017年北京理）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为8010．则下列各数中与MN最接近的是（）（参考数据：30.48lg）A.3310B.5310C.7310D.9310【答案】：D【解析】：设36180310MxN，两边取对数，36136180803lglglg3lg10361lg38093.2810x，所以93.2810x，即MN最接近9310，故选D．【考点】：对数运算【难度】：中二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．（2017年北京理）若双曲线221yxm的离心率为3，则实数m．【答案】：2【解析】：根据题意得221,abm且2223abccea，解得2m【考点】：双曲线离心率【难度】：易10．（2017年北京理）若等差数列na和等比数列nb满足111ab，448ab，则22ab=．【答案】：1【解析】：由题意可知：322131383,211(2)adqdqb．【考点】：等差数列+等比数列【难度】：易11．(2017年北京理)在极坐标系中，点A在圆22cos4sin40上，点P的坐标为1,0，则AP的最小值为______．【答案】：1【解析】：由题意可知2222:2440(1)(2)1Cxyxyxy，所以min||||211APACr．【考点】：极坐标【难度】：中12．(2017年北京理)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若1sin3，cos()=．【答案】：79【解析】：2227sinsin,coscoscos()coscossinsincossin2sin19【考点】：三角函数定义+差角公式【难度】：易13．(2017年北京理)能够说明“设a，b，c是任意实数．若abc，则abc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_______．【答案】：1，2，3【解析】：取,,abc分别为1,2,3不满足abc，故此命题为假命题（此题答案不唯一）【考点】：简易逻辑命题真假判断【难度】：易14．(2017年北京理)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点iA的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点iB的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，1i，2，3．①记1Q为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则1Q，2Q，3Q中最大的是_________．②记iP为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则1P，2P，3P中最大的是_________．【答案】：1Q；2.p．【解析】：作图可得11AB中点纵坐标比22AB，33AB中点纵坐标大，所以第一位选1Q，分别作1B，2B，3B关于原点的对称点1B，2B，3B，比较直线11AB，22AB，33AB斜率，可得22AB最大，所以选2p．【考点】：实际应用，极坐标，对称【难度】：中三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题13分）在ABC中，=60A，37ca．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若7a，求ABC的面积．【答案】：（Ⅰ）33sin14C（Ⅱ）63S【解析】：（Ⅰ）在△ABC中，因为60A，37ca，所以由正弦定理得sin3333sin7214cACa．（Ⅱ）因为37caa，所以60CA，由7a，所以3737c．由余弦定理2222cosabcbcA得222173232bb，解得8b或5b（舍）．所以△ABC的面积113sin8363222SbcA．【考点】：正弦定理+余弦定理+三角形面积公式【难度】：易16．（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，//PD平面MAC，6PAPD，4AB．（Ⅰ）求证：M为PB的中点；（Ⅱ）求二面角BPDA的大小；（Ⅲ）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【答案】：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3（Ⅲ）269【解析】：（Ⅰ）设,ACBD交点为E，连接ME．因为PD∥平面MAC，平面MAC平面PBDME，所以PDME∥．因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，在PBC中，知M为PB的中点．（Ⅱ）取AD的中点O，连接OP，OE．因为PAPD，所以OPAD．又因为平面PAD平面ABCD，且OP平面PAD，所以OP平面ABCD．因为OE平面ABCD，所以OPOE．因为ABCD是正方形，所以OEAD．如图建立空间直角坐标系Oxyz，则(0,0,2)P，(2,0,0)D，(2,4,0)B，(4,4,0)BD，(2,0,2)PD．设平面BDP的法向量为(,,)xyzn，则00BDPDnn，即440220xyxz．令1x，则1y，2z．于是(1,1,2)n．平面PAD的法向量为(0,1,0)p，所以1cos,||||2npnpnp．由题知二面角BPDA为锐角，所以它的大小为3．（Ⅲ）由题意知2(1,2,)2M，(2,4,0)D，2(3,2,)2MC．设直线MC与平面BDP所成角为，则||26sin|cos,|9||||MCMCMCnnn．所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为269．【考点】：立体几何+空间向量（二面角、正弦值）【难度】：易17．（本小题13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中表示服药者，表示未服药者．（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中,,,ABCD四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望()E；（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）【答案】：（Ⅰ）0.3（Ⅱ）1（Ⅲ）大于【解析】：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为150.350．（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C．所以的所有可能取值为0,1,2．21122222222444CCCC121(0),(1),(2)C6C3C6PPP．所以的分布列为012P162316故的期望121()0121636E．（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．【考点】：分布列+数学期望+概率【难度】：易18．（本小题14分）已知抛物线C：22ypx过点(1,1)P．过点1(0,)2作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点．【答案】：（Ⅰ）焦点坐标为1(,0)4，准线方程为14x（Ⅱ）见解析【解析】：（Ⅰ）由抛物线C：22ypx过点(1,1)P，得12p．所以抛物线C的方程为2yx．抛物线C的焦点坐标为1(,0)4，准线方程为14x．（Ⅱ）当直线MN的斜率不存在或斜率为0时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN的斜率存在且不为0．设1(0,)2为点Q，过Q的直线MN方程为12ykx（0k），设11(,)Mxy，22(,)Nxy，显然，1x，2x均不为0．由212ykxyx，得224(44)10kxkx．考虑221(1)4124kkk，由题意0，所以12k．则1221kxxk，①12214xxk．②由题意可得A，B横坐标相等且同为1x，因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为11(,)xx．直线ON的方程为22yyxx，点B的坐标为2112(,)yxxx．若要证明A为BM的中点，只需证2ABMyyy，即证121122xyyxx，即证1221122xyxyxx，将11221212ykxykx代入上式，即证2112