高等数学(上册)教案15-函数的极值与最值

第3章导数的应用函数的极值与最值【教学目的】：1.理解函数的极值的概念；2.掌握求函数的极值的方法；3.了解最大值和最小值的定义；4.掌握求函数的最值的方法；5.会求简单实际问题中的最值。【教学重点】：1.函数极值的第一充分条件，第二充分条件；2.导数不存在情况下极值的判定；3.函数最值的求解方法；4.函数的最值的应用。【教学难点】：1.导数不存在情况下极值的判定；2.区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点；3.区分极值点与极值，最值点与最值；4.函数的最值的应用。【教学时数】：2学时【教学过程】：3.3.1函数的极值从图3-7可以看出，函数)(xfy在点2x、5x处的函数值2y、5y比它们近旁各点的函数值都大；在点1x、4x、6x处的函数值1y、4y、6y比它们近旁各点的函数值都小，因此，给出函数极值的如下定义：一般地，设函数)(xfy在0x的某邻域内有定义，若对于0x邻域内不同于0x的所有x，均有)()(0xfxf，则称)(0xf是函数)(xfy的一个极大值，0x称为极大值点；若对于0x邻域内不同于0x的所有x，均有)()(0xfxf，则称)(0xf是函数)(xfy的一个极小值，0x称为极小值点.函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点.注意可导函数的极值点必是它的驻点，但反过来是不成立的，即可导函数的驻点不一定是它的极值点.极值的第一充分条件设函数)(xfy在点0x的邻域内可导且0)(0xf，则（1）如果当x取0x左侧邻近的值时，0)(0xf；当x取0x右侧邻近的值时，图3-7yOxa1x2x3x4x5xb0)(0xf，则0x为函数)(xfy的极大值点，)(0xf为极大值；（2）如果当x取0x左侧邻近的值时，0)(0xf；当x取0x右侧邻近的值时，0)(0xf，则0x为函数)(xf的极小值点，)(0xf为极小值；（3）如果当x取0x左右两侧侧邻近的值时，)(0xf不改变符号，则函数)(xf在0x处没有极值.根据上述定理，求可导函数的极值点和极值的步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求函数的导数)(xf，并求出函数)(xf的全部驻点以及不可导点；（3）列表考察每个驻点（及不可导点）左右邻近)(xf的符号情况以及不可导点的情况，根据定理2.12判定极值点和极值.例2求函数3223)(xxxf的极值.解（1）函数的定义域为),(；（2）311)(xxf；（3）令0)(xf，得驻点1x.当0x时，导数不存在；（4）列表讨论如下：x)0,(0)1,0(1),1()(xf不存在0)(xf极大值极小值由上表知，函数的极大值为0)0(f，极小值为21)1(f.极值的第二充分条件设函数)(xfy在点0x的邻域内具有二阶导数且0)(0xf，0)(0xf，则（1）当0)(0xf时，函数)(xf在0x处取得极大值；（2）当0)(0xf时，函数)(xf在0x处取得极小值.注意当0)(0xf，且0)(xf时，则上述方法失效，此时仍用第一充分条件来判定.3.3.2函数的最大值与最小值求函数)(xf在闭区间],[ba上的最值的步骤如下：（1）求出函数)(xf的导数，并求出所有的驻点及不可导点；（2）计算函数)(xf在这些点和端点处的函数值；（3）将这些值加以比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.注意（1）在求函数的最大值或最小值时，如果已知该函数在某个区间内只有一个极值点，那么在包含该极值点的此区间内，极大值就是最大值，极小值就是最小值．（2）在求函数的最大值或最小值时，如果已知该函数在某个区间内完全单调，则两个端点即为最值点，两端点处的函数值较大的为最大值，较小的为最小值。例6用一块边长为cm24的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小正方形，做成无盖的铁盒.问截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒容积最大？解设截去的小正方形的边长为cmx，铁盒的容积为3cmV.根据题意，得2)224(xxV)120(x，于是，问题归结为：求x为何值时，函数V在区间)12,0(内取得最大值.)2)(224(2)224(2xxxV)4)(12(12)624)(224(xxxx，令0V，解得121x，42x.因此，在区间)12,0(内函数只有一个驻点4x，又由问题的实际意义知，函数V的最大值在)12,0(内取得.所以，当4x时，函数V取得最大值.即当所截去的正方形边长为cm4时，铁盒的容积为最大.【教学小节】：通过本节的学习，学会应用导数求解函数的极值与最值，并能够解决实际生活中遇到的简单最值问题。【课后作业】：无