有理数的乘方

1学科辅导讲义授课对象初一3-5人班授课教师杨老师授课时间授课题目有理数的除法课型预习课使用教具讲义、练习题教学目标1．理解有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的运算；2．培养观察、比较、分析、归纳、概括能力,以及探索精神；3．分类讨论思想．教学重点和难点重点：有理数乘方的运算和正确运用科学记数法表示较大的数．难点：有理数乘方运算的符号法则和正确掌握10的幂指数特征．教学流程及授课详案有理数的乘方知识回顾：（1）叙述有理数的乘法法则；（2）叙述有理数的除法法则.学习过程：情景导入棋盘上的学问：古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。大臣说：“就在这个棋盘上放一些米吧，第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒米，16粒米，32粒米……一直到第64格．”“你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑．大臣说：“就怕你的国库里没有这么多米！”你认为国王的国库里有这么多米吗？（一）、从学生原有认知结构提出问题在小学我们我们已经学习过aa，记作2a，读作a的平方（或a的二次方）；aaa记作3a，读作a的立方（或a的三次方）；那么，aaaa（n是正整数）呢？在小学对于字母a我们只能取正数，进入中学后，我们学习了有理数，那么a还可以取哪些数呢？请举例说明。2（二）、讲授新课重点1。有理数乘方1．求n个相同因数的积的运算叫做乘方。2．乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。一般地，在na中，a取任意有理数，n取正整数。应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果。当na看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。3．我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，na就是表示n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算。naaaaa例1计算：（1）32；（2）32；(3)42；(4)52；☆注：2就是12，指数1通常不写。观察、比较、分析这几组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系？（1）横向观察正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶数幂是正数；零的任何次幂都是零。（2）纵向观察互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等。（3）任何一个数的偶次幂是什么数？任何一个数的偶次幂都是非负数。你能把上述的结论用数学符号语言表示吗？当0a时，0na（n是正整数）；当0a=时，0na=（n是正整数）.（以上为有理数乘方运算的符号法则）()22nnaa=-（n是正整数）；指数底数na幂3()2121nnaa--=--（n是正整数）20na（a是有理数，n是正整数）例2计算（1）234；（2）3432；（3）4326423；（4）()()()2212009111nn+---+-（n为正整数）。例3计算：（1）()23-，()33-，5[(3)]（2）23-，33-，()53--；（3）()24--，()35--，34()3，234-；（4）2223()3，2[(2)(3)]，23(3)；引导学生纵向观察第（1）题和第（2）题的形式和计算结果，让学生自己体会到，()na-的底数是a-，表示n个()a-相乘，na-是na的相反数，这是()na-和na-的区别。引导学生横向观察第（3）题的形式和计算结果，让学生自己体会到，写分数的乘方时要加括号，不然就是另一种计算了。课堂练习计算：4（1）()33-，4422,2244；(2)()20091-,232，3322；(3)()11n--(n为偶数)()35-，23223；（4）21115，3455；例3．已知：221342,13593+==++==，21357164+++==，213579255++++==，…，根据前面的各式规律，猜测1357…(21)n的结果（其中n为自然数）。随堂练习1.当3,5,4abc=-=-=时，求下列各代数式的值：（1）()2ab-；（2）222abc-+；（3）()2ab-+；（4）222aabb++。52．当a是负数时，判断下列各式是否成立。（1）()22aa=-；（2）()33aa=-；重点2.科学记数法例计算510100000=，6101000000=，101010000000000=，左边用10的n次幂表示简洁明了，且不易出错，右边有许多零，很容易发生写错的情况，读的时候也是左易右难，这就是我们想到用10的n次幂表示较大的数，比如一亿，一百亿等等。但是像太阳的半径大约是696000千米，光速大约是300000000米每秒，中国人口大约13亿等等，我们如何能简单明了地表示它们呢？这就是本节课我们要学习的内容科学记数法。1.10n的特征观察下题1234101010,10100,101000,1010000,1010000000000=====。提问：10n中的n表示n个10相乘，它与运算结果中0的个数有什么关系？与运算结果的数位有什么关系？练习（1）把下面各数写成10的幂的形式。1000，100000000，100000000000。练习（2）指出下列各数是几位数。310，510，1210，10010。2．科学记数法（1）任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n次幂的形式。如：21001100110，3600061000610，375007.510007.510。6第一个等号是我们在小学里就学习过的关于小数点移动的知识，我们现在要做的就是把100,1000，变成10的n次幂的形式就行了。（2）科学记数法定义根据上面的例子，我们把大于10的数记成10na的形式，其中a是正数数位只有一位的数，你是自然数，这种计数法叫做科学记数法。现在我们只学习绝对值大于10的数的科学记数法，以后我们还要学习其他一些数的科学记数法。说它科学，因为它简单明了，易读易记易判断大小，在自然科学中经常运用。用字母N表示数，则10(1||10,)nNaan为整数，这就是科学记数法。例1．用科学记数法表示下列各数：（1）1000000；（2）57000000；（3）696000；（4）300000000；（5）-78000；（6）12000000000。解：（1）1000000=610；（2）57000000=75.7100000005.710；（3）696000=56.961000006.9610；（4）300000000=83100000000310；（5）-78000=47.8100007.810；（6）12000000000=101.2100000000001.210。如果每次都按解的步骤去做又显得有点繁，那么利用n与数位的关系去做，试一试：（1）1000000是7位数，所以n=6，即610。（2）57000000是8位数，n=7，所以57000000=75.710。7（3）696000是6位数，n=5，所以696000=56.9610。（4）300000000是9位数，n=8，所以300000000=8310。随堂练习1．用科学记数法记出下列各数：8000000；5600000；7400000002．用科学记数法记出下列各数：（1）7000000；（2）92000；（3）63000000；（4）304000；（5）8700000；（6）500900000；（7）374.2（8）7000.5例2．下列用科学记数法记出的数，原来各是什么数?(1)6210;(2)59.610;(3)77.5810;(4)54.3110;(5)86.0310(6)75.00210;(7)25.01610;(8)47.710510.3.巧算：首同末和10（1）已知：215225=可写成10011125（）225625=可写成1002212582351225=可写成10033125则2755625=可写成，2857225=可写成。（2）请归纳猜想得：()2105n+。（3）根据上面的归纳猜想，计算出21995=。4．给出依次排列的一列数：-1，2，-4,8，-16，32……（1）写出32后面的三项数。（2）按照此规律，第n个数为。例.比较20082007和20072008的大小.为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较1nn+和()1nn+大小（n为正整数），然后我们从分析n=1,2,3…，这些简单情形入手，从中发现规律。如（1）2112；3223；4334；5445；6556。猜想（2）1nn+和()1nn+的大小关系是。结论（3）2008200720072008。小结让学生回忆，做出小结：1．乘方的有关概念、乘方的符号法则和括号的作用。2．强调什么是科学记数法，以及为什么学习科学记数法。3．突出科学记数法中字母a的规定及10的幂指数与原整数位数的关系。课后作业A.基础演练1．填空（1）平方得1649的数是，立方得6427-的数是；（2）()24-，24-；9（3）45-的底数是，它表示；（4）20.1-，30.6-，()43-；（5）已知42(2)(4)ab++-=0，则32ab-+；（6）若50a，则32ab0；（7）若21aa=，则a=；（8）在5555112323，，，中，最大的数是；（9）瑞士中学教师巴尔末成功从光谱数据9162536,,,,5122132…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按照这种规律写出第七个数据是；（10）1234533,39,327,381,3243…那么20053的个位数字是。2．选择题（1）已知()2120mn-++=，则m+n的值为（）A.-1B.-3C.3D.不确定（2）一个数的平方是4，这个数的立方是（）A．8B.-8C.8或-8D.4或-4(3)若a,b为有理数,下列判断:①22(1)ab++总是正数;②221ab++总是正数；③29()ab+-的最小值为9；④()211ab-+的最大值是0，其中错误的有（）A．1B.2C.3D.43．计算:(1)3223;(2)31313;(3)()322233--+-;(4)()2432--;(5)5255;(6)22003718;(7)222121423;(8)22255.10B.综合测试1.用科学记数法记出下列各数:(1)地球离太阳约有一亿五千万千米;(2)地球上煤的储量估计为15万亿吨以上;(3)月球的质量约为7340000000000000万吨;(4)银河系中的恒星数约为160000000000个;(5)地球绕太阳公转的轨道半径约是149000000千米;(6)31cm的空气中约有25000000000000000000个分子.2.一天有48.6410秒,一年如果按365天计算,一年有多少秒?(用科学记数法表示)3．地球绕太阳转动(即地球的公转)每小时约通过51.110千米,声音在空气中传播,每小时约通过31.210千米.地球公转的速度与声音的速度哪个大?4.10m长的绳子,第一次剪去一半,第二次减去剩下的一半,如此剪下去,第5次后剩下的绳子有多长?5.已知:a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值等于2，试求220092009()()()xabcdxabcd的值.11C.探究升级1.回答下列问题:(1)看一看,下面两组算式:235与2235,2142与22142,每组两个算式的计算结果是否相等?(2)想一想,()3a