随机变量的数学期望与方差

1第9讲随机变量的数学期望与方差教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。教学重点：1．随机变量的数学期望2．随机变量函数的数学期望3．数学期望的性质4．方差的定义5．方差的性质教学难点：数学期望与方差的统计意义。教学学时：2学时。教学过程：第三章随机变量的数字特征§3.1数学期望在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。1．离散随机变量的数学期望我们来看一个问题：某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量，如何定义X取值的平均值呢？若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为27.1100213100172100301100320这个数能作为X取值的平均值吗？2可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27。对于一个随机变量X，若它全部可能取的值是,,21xx，相应的概率为,,21PP，则对X作一系列观察(试验)所得X的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数很大，出现kx的频率会接近于KP，于是试验值的平均值应接近1kkkpx由此引入离散随机变量数学期望的定义。定义1设X是离散随机变量，它的概率函数是,2,1,)()(kPxXPxpKKk如果1||kkkpx收敛，定义X的数学期望为1)(kkkpxXE也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。例1某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望。解设试开次数为X，则nkXp1)(，n,,2,1k于是nknkXE11)(2)1(1nnn21n2.连续随机变量的数学期望为了引入连续随机变量数学期望的定义，我们设X是连续随机变量，其密度函数为)(xf，把区间),(分成若干个长度非常小的小区间，考虑随机变量X落在任意小区间],(dxxx内的概率，则有3)(dxxXxp=dxxxdxtf)(dxxf)(由于区间],(dxxx的长度非常小，随机变量X在],(dxxx内的全部取值都可近似为x，而取值的概率可近似为dxxf)(。参照离散随机变量数学期望的定义，我们可以引入连续随机变量数学期望的定义。定义2设X是连续随机变量，其密度函数为)(xf。如果dxxfx)(||收敛，定义连续随机变量X的数学期望为dxxfxXE)()(也就是说,连续随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分。由连续随机变量数学期望的定义不难计算：若),(~baUX，即X服从),(ba上的均匀分布,则2)(baXE若X服从参数为的泊松分布，则)(XE若X服从则),,(2N)(XE3.随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是随机变量X的数学期望，而是X的某个函数的数学期望，比如说)(Xg的数学期望，应该如何计算呢？这就是随机变量函数的数学期望计算问题。一种方法是，因为)(Xg也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来。一旦我们知道了)(Xg的分布，就可以按照数学期望的定义把)]([XgE计算出来，使用这种方法必须先求出随机变量函数)(Xg的分布，一般是比较复杂的。4那么是否可以不先求)(Xg的分布，而只根据X的分布求得)]([XgE呢？答案是肯定的，其基本公式如下：设X是一个随机变量，)(XgY，则连续离散XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()]([)(1当X是离散时,X的概率函数为,2,1,)()(kPxXPxPKKk；当X是连续时，X的密度函数为)(xf。该公式的重要性在于，当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了，这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便。4.数学期望的性质（1）设C是常数，则E(C)=C。（2）若k是常数，则E(kX)=kE(X)。（3）)E(X)E(X)XE(X2121。推广到n个随机变量有niiniiXEXE11)(][。（4）设X、Y相互独立，则有E(XY)=E(X)E(Y)。推广到n个随机变量有niiniiXEXE11)(][5.数学期望性质的应用例2求二项分布的数学期望。解若),(~pnBX，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数，现在我们来求X的数学期望。若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2，„，n5则nXXXX21，因为PXPi)1(，qPXPi1)0(所以ppqXEi10)(，则)(XEnpXEXEniinii11)(][可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np。需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。例3设随机变量X服从柯西分布,概率密度为xxfx,)()1(12求数学期望)(XE。解依数学期望的计算公式有dxXExx112)(因为广义积分dxxx12不收敛，所以数学期望)(XE不存在。§3.2方差前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是我们要学习的方差的概念。1.方差的定义定义3设随机变量X的数学期望)(XE存在，若]))([(2XEXE存在，则称]))([(2XEXE(3.1)为随机变量X的方差，记作)(XD，即]))([()(2XEXEXD。方差的算术平方根)(XD称为随机变量X的标准差，记作)(X，即)()(XDX由于)(X与X具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。6方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。若方差)(XD=0，则随机变量X以概率1取常数值。由定义1知，方差是随机变量X的函数2)]([)(XEXXg的数学期望，故连续时当离散时当XdxxfXExpXExXDkkkk,)()]([X,)]([)(212当X离散时,X的概率函数为,2,1,)()(kPxXPxPKKk；当X连续时，X的密度函数为)(xf。计算方差的一个简单公式：22)]([)()(XEXEXD证22222)]([)(])]([)(2[]))([()(XEXExEXXEXEXEXEXD请用此公式计算常见分布的方差。例4设随机变量X服从几何分布，概率函数为1)1(kkppP,k=1,2,„,n其中0p1，求)(XD。解记q=1-p11)(kkkpqXE1)'(kkqp1)'(kkqp)'1(qqpp11122)(kkpqkXE])1([1111kkkkkqqkkp1)(kkqqp+E(X)pqqqp1)1(pqqp1)1(23ppq122722)]([)()(XEXEXD22pp21p21pp2.方差的性质（1）设C是常数,则D(C)=0。（2）若C是常数,则)()(2XDCCXD。（3）若X与Y独立，则)()()(YDXDYXD。证由数学期望的性质及求方差的公式得)()()]([)()]([)()()(2)]([)]([)()(2)()()]()([]2[)]([])[()(2222222222222YDXDYEYEXEXEYEXEYEXEYEXEYEXEYExEXYYXEYXEYXEYXD可推广为：若1X,2X，„，nX相互独立，则niiniiXDXD11)(][niiiniiiXDCXCD121)(][（4）D(X)=0P(X=C)=1，这里C=E(X)。请同学们思考当X与Y不相互独立时，?)(YXD下面我们用例题说明方差性质的应用。例5二项分布的方差。解设),(~pnBX,则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数。若设次试验失败如第次试验成功如第iiXi01i=1,2，„，n则niiXX1是n次试验中“成功”的次数，ppqXEi10)(，故8)1()]([)()(222ppppXEXEXDiii，1,2,,in由于nXXX,,,21相互独立，于是niiXDXD1)()(=np(1-p)。例6设随机变量X的数学期望)(XE与方差)()(2XXD都存在，0)(X,则标准化的随机变量)()(*XXEXX证明0)(*XE,1)(*XD。证由数学期望和方差的性质知_()*()()*()22[()]()[]0()[()]()()[]1()()XEXXXEXXEXEXEXEXDXEXDXDXDXX