线线角、线面角-二面角(高考立体几何法宝)

11A1B1C1DABCDEFG线线角、线面角、二面角的求法1.空间向量的直角坐标运算律：⑴两个非零向量a与b垂直的充要条件是1122330abababab⑵两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±|a||b|2.向量的数量积公式若a与b的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)aaaa，123(,,)bbbb,则（1）点乘公式：a·b=|a||b|cosθ（2）模长公式：则222123||aaaaaa，222123||bbbbbb（3）夹角公式：112233222222123123cos||||ababababababaaabbb（4）两点间的距离公式：若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则2222212121||()()()ABABxxyyzz，222,212121()()()ABdxxyyzz①两条异面直线a、b间夹角0,2在直线a上取两点A、B，在直线b上取两点C、D，若直线a与b的夹角为，则cos|cos,|ABCDCDABCDAB。例1(福建卷)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A．515arccosB．4C．510arccosD．2（向量法，传统法）2PBCA例2(2005年全国高考天津卷)如图，PA平面ABC，90ACB且PAACBCa，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．解：（1）向量法（2）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCADBCP，PB与AC所成的角的大小即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小，在Rt△PDB中，即tan2PDDBADB．故填2．点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCADBCP②直线a与平面所成的角0,2(重点讲述平行与垂直的证明)可转化成用向量a与平面的法向量n的夹角表示，由向量平移得：若2时2（图21）；若2时2（图31）.平面的法向量n是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤：(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc(2)设出平面的一个法向量为(,,)nxyz(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组(02)a(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。nanana图1－2图1－1图1－31D1B1CPDBCA31.(线线角,线面角).在棱长为a的正方体''''ABCDABCD中，,EF分别是'',BCAD的中点.（1）求直线'ACDE与所成角；（2）求直线AD与平面'BEDF所成的角.2.如图，底面ABCD为直角梯形，90ABC，PB面ABCD，22CDBPBCBA，E为PD的中点，求1）异面直线BD与PA所成角的余弦值；2）直线CP与面ADP所成角的正弦值；'DABCDEFG'A'B'CxyzBCDPAxyz4③求二面角的大小1.范围：[0,]2.二面角的向量求法：方法一：如图，若AB、CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角.方法二:设,uv是二面角α-l-β的两个面α,β的法向量,则向量u与v的夹角(或其补角就是二面角的平面角的大小.如图,设二面角的平面角的大小为,法向量的夹角为.coscos||||uvuvcoscos()cos||||uvuv注意:在用向量求二面角的大小时，我们是先求出两半平面的法向量所在直线的夹角，但二面角可能是钝角或锐角，因此在求出角后，应判断二面角的大小，再确定二面角就是两半平面的法向量所在直线的夹角或是其补角。例：如图，PAABC平面，,1,2ACBCPAACBC，求二面角APBC的大小。uvuvβlαABCPDExyz51.[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P­ABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离．2、(2011年高考陕西卷理科16)（本小题满分12分）如图：在,ABC0中,ABC=60,0BAC=90ADBC是上的高，沿AD把ABD折起，使0BDC=90.证明：（Ⅰ）平面ADBBDC平面；（Ⅱ）设EBCDB为的中点,求AE与夹角的余弦值。63、(2011年高考北京卷理科16)（本小题共14分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，2,60ABBAD.(Ⅰ)求证：BD平面;PAC（Ⅱ）若,PAAB求PB与AC所成角的余弦值；4、(2011年高考全国新课标卷理科18)(本小题满分12分)如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。a2aaxBDCApyz7直线与平面平行或者垂直（重点掌握）1.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M,N分别是A1B1，BB1的中点.求证:(1)MN//平面ACD1;(2)DB1⊥平面ACD1.2、如图，四棱锥P—ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．(I)求证：CD平面PAD；(II)求证：BE//平面PAD．3.正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：（1）D1O//平面A1BC1;（2）D1O⊥平面MAC.ABCDA111B11C11111D1111MNABCDEP84.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，5AB,点D是AB的中点，求证：（I）AC⊥BC1；（II）A1C//平面CDB1；5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，求证：(1)平面ADE∥平面B1C1F；(2)平面ADE⊥平面A1D1G；