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2017考研数学考前必背：常考公式集锦（高等数学篇）1、无穷小的比较设在某极限过程x®中，函数(),()xxab都为无穷小量，并且都不为0.若()lim0()xxxab®=，则称当x®时，()xa为()xb的高阶无穷小量，或()xb为()xa的低阶无穷小量，记作()(())xoxab=；若()lim0()xxCxab®=¹，则称当x®时，()xa与()xb同阶无穷小量，若()lim1()xxxab®=，则称当x®时，()xa与()xb为等价无穷小量，记作()~()xxab.k阶无穷小：设在某极限过程x®中，函数(),()xxab都为无穷小量，并且都不为0.若[]()lim0()kxxCxab®=¹，则称当x®时，()xa是()xb的k阶无穷小.2、导数的四则运算法则：设函数()fx与()gx均可导，则[]()()()()fxgxfxgx¢¢¢±=±，[]()()()()()()fxgxfxgxfxgx¢¢¢=+，2()()()()()()()fxfxgxfxgxgxgx¢¢¢éù-=êúëû.3、常用函数的n阶导数公式（1）xey=xney=)(（2）)1,0(¹=aaayxnxnaay)(ln)(=（3）xysin=)2sin()(pnxyn+=（4）xycos=)2cos()(pnxyn+=（5）xyln=nnnxny----=)!1()1(1)(（6）ayx=()(1)...(1)nanyaaanx-=--+4、五个常用的麦克劳林公式211...2!!(1)!nxnxxeexxnnx+=++++++，x在x与0之间.321123cossin...(1)(1),3!(21)!(23)!nnnnxxxxxnnx+++=-++-+-++x在x与0之间.()22122coscos1...(1)(1),2!2!(22)!nnnnxxxxnnx++=-++-+-+x在x与0之间.2111(1)ln(1)...(1),2(1)(1)nnnnnxxxxxnnx-++-+=-++-+++x在x与0之间.211(1)(1)...(1)(1)...()(1)1...(1),2!!(1)!annnaaaaannxaxxxxnnaaaax--+---+--+=+++++++x在x与0之间.5、极值第一充分条件：设函数()fx在0x处连续，并在0x的某去心邻域0000(,)(,)xxxxdd-+内可导.①若00(,)xxxdÎ-时'()0,fx而00(,)xxxdÎ+时'()0,fx则()fx在0x处取得极大值；②若00(,)xxxdÎ-时'()0,fx而00(,)xxxdÎ+时'()0,fx则()fx在0x处取得极小值；③若0000(,)(,)xxxxxddÎ-+时，'()fx符号保持不变，则()fx在0x处不能取到极值.第二充分条件：设函数()fx在0x处存在二阶导数且'0()0fx=，①若''0()0,fx则()fx在0x处取得极小值；②若''0()0,fx则()fx在0x处取得极大值；③若''0()0,fx=则()fx在0x处是否取极值未知.6、基本积分公式（1）11,(1)1aaxdxxCaa+=+¹-+ò，1ln,dxxCx=+ò（2）1,lnxxxxadxaCedxeCa=+=+òò（3）cossin,sincosxdxxCxdxxC=+=-+òò（4）22sectan,csccotxdxxCxdxxC=+=-+òò，（5）sectansec,csccotcscxxdxxCxxdxxC=+=-+òò，（6）21arctan1dxxCx=++ò，（7）21arcsin1dxxCx=+-ò7、定积分的性质1）规定：（1）()()()bbbaaafxdxfuduftdt==òòò（2）()(),()0,()0baabababfxdxfxdxfxdxfxdx=-==òòòò特例:2）线性性质（1）[]()()()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx+=+òòò，（2）()()bbaakfxdxkfxdx=òò，k为常数3）1badxba=-ò4）区间可加性：()()()bcbaacfxdxfuduftdt=+òòò注：不要求acb，只要()cafxdxò和()bcfxdxò都存在就可以使用定积分的区间可加性.5）比较定理：（1）若在区间[,]ab上恒有()()fxgx³，则有()()bbaafxdxgxdx³òò；推论：（1）若在区间[,]ab上恒有()0fx³，则有()0bafxdx³ò（2）()()bbaafxdxfxdx£òò（3）估值定理：设Mm和为函数()fx在区间[,]ab上的最大值与最小值，则有：()()()bambafxdxMba-££-ò（4）积分中值定理：设函数()fx在区间[,]ab上连续，则至少存在一点[,]abxÎ，使得()()()bafxdxfbax=-ò8、微积分基本定理1）内容：（1）设函数()fx在区间[,]ab上可积，令()(),xaxftdtaxbF=££ò称为变上限积分（积分上限函数）.（2）变上限积分的导数：定理：若函数()fx在区间[,]ab上连续，则变上限积分()()xaxftdtF=ò在[,]ab上可导，且()()()(),xaxftdtfxaxb¢¢F==££ò（3）牛顿——莱布尼兹公式：设()fx在区间[,]ab上连续，()Fx是()fx在区间[,]ab上的一个原函数，则()()()bafxdxFbFa=-ò2）计算导函数（1）()()(),xaftdtfxaxb¢=££ò（2）()()(),bxftdtfxaxb¢=-££ò（3）[]()()()()uxaftdtfuxux¢éù¢=êúëûò（4）()()()(())()(())()uxvxftdtfuxuxfvxvx¢éù¢¢=-êúëûò9、平面图形的面积1）直角坐标系下平面图形的面积形式计算公式()bafxdxò()dcydyjò[]()()bafxgxdx-ò()()dcyydyfj-éùëûò2）极坐标系下平面图形的面积在极坐标系下，由直线qa=和qb=和曲线()rrq=所围图形的面积为21()2Sdbarqq=ò.简单几何体的体积1）平行截面面积已知立体图形的体积立体在过点,xaxb==且垂直于x轴的两个平面之间，以()Sx表示过点x且垂直于x轴的截面面积.则所求立体的体积为：()baVSxdx=ò2）旋转体的体积由连续曲线()yfx=、直线,xaxb==及x轴所围曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.该立体的体积为：2()baVfxdxp=ò.10、偏导数设函数(,)zfxy=在点000(,)PxyDÎ的某一邻域内有定义，把y固定在0y而x在0x处有增量xD，相应的函数有增量0000(,)(,)zfxxyfxyD=+D-，若极限00000(,)(,)limxfxxyfxyxD®+D-D存在，则称函数(,)zfxy=在点000(,)Pxy处关于x的偏导数存在，并定义此极限值为函数(,)zfxy=在点000(,)Pxy处对变量x的偏导数，记作0000,,xxxxyyyyzfxx====¶¶¶¶0000(,)xxxxyyzfxy==¢¢,.类似地，可以定义函数(,)zfxy=在点000(,)Pxy处对变量y的偏导数00000(,)(,)limyfxyyfxyyD®+D-D，记作00000000(,)(,)(,),,(,)yyxyxyxyzfzfxyyy¶¶¢¢¶¶,.全微分：若函数(,)zfxy=在点(,)xy的全增量(,)(,)zfxxyyfxyD=+D+D-可表示为()22zAxByoxyD=D+D+D+D，其中A、B仅依赖于(,)xy而与xD、yD无关，则称函数(,)zfxy=在点(,)xy可微，其中AxByD+D称为函数(,)zfxy=在点(,)xy的全微分，记作dz，即dzAxBy=D+D.11、极值的充分条件：设函数(,)zfxy=在00(,)xy点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又设0000(,)0,(,)0xyfxyfxy¢¢==.令000000(,),(,),(,)xxxyyyfxyAfxyBfxyC¢¢¢¢¢¢===（1）若20ACB-，则函数(,)zfxy=在00(,)xy点具有极值.当0A时取得极小值；当0A时取得极大值.（2）若20ACB-，则函数(,)zfxy=在00(,)xy点不能取到极值.（3）若20ACB-=，则函数(,)zfxy=在00(,)xy点可能有极值，也可能没有极值.条件极值1）函数(,)zfxy=在条件(,)0xyj=下的极值，称为条件极值，其中函数(,)zfxy=称为目标函数，(,)0xyj=称为约束条件.2）拉格朗日乘数法：对条件极值给出解题方法：（1）作拉格朗日函数：(,,)(,)(,)Lxyfxyxyllj=+（2）解方程组：(,)(,)0(,)(,)0(,)0xxxyyyLfxyxyLfxyxyxyljljj¢¢¢ì=+=¢=+=íï=î（本质是找三元函数(,,)Lxyl的驻点）（3）根据实际条件判断所求出的点是极大值还是极小值.12、直角坐标与极坐标相互之间的转化公式直角坐标与极坐标相互之间的转化公式为：cossinxyrqrq=ìí=î，其中ddddrrqrrq=×.极坐标下二重积分计算公式：(,)(cos,sin)DDfxydxdyfddrqrqrrq=òòòò极坐标适用范围：积分区域边界为圆或与圆相关图形（扇形，环形等）；被积函数可写成()22fxy+或被积函数中多次出现22xy+.模棱两可时用极坐标.对称性ⅰ）若积分区域关于x轴对称，且被积函数是关于变量y的奇函数，则积分值为零；若积分区域关于x轴对称，且被积函数是关于变量y的偶函数，则积分值为等于第一二象限积分的两倍.ⅱ）若积分区域关于y轴对称，且被积函数是关于变量x的奇函数，则积分值为零；若积分区域关于y轴对称，且被积函数是关于变量x的偶函数，则积分值为等于第一四象限积分的两倍.ⅲ）特别地，若积分区域关于两个坐标轴都对称，被积函数关于两个变量都是偶函数，则积分值等于第一象限内的积分的四倍.ⅳ）轮换对称性：若设将积分区域xyD的变量,xy交换之后的区域为yxD，则有(,)(,)xyyxDDfxydxdyfyxdxdy=òòòò.特别地，当xyD关于直线yx=对称时，xyyxDD=，此时则有(,)(,)xyxyDDfxydxdyfyxdxdy=òòòò.13、球面坐标系下的三重积分计算：球面坐标通过三个变量式来确定三维空间中的点.其中r为点到原点的距离，确定了该距离后，该点就被限制在了一个以原点为圆心的球面上；(02)qqp££和(0)jjp££是两个角度：将xoz平面0x部分的半平面逆时针旋转，当旋转到经过该点时，所转过的角度即为q，可见，q的作用类似于地球仪上的经度；将该点与原点连接，该连线与z轴正半轴的夹角即为j，可见j的作用类似于纬度（只不过这个纬度是以南纬90度作为0度的）.它与直角坐标系的转换公式为sincossinsincosxyzrjqrjqrj=ìï=íï=î.三重积分球面坐标转换公式：2(,,)(sincos,sinsin,cos)sinDDfxyzdxdydzfdddrjqrjqrjrjrjq=òòòòòò当被积函数中形如()222fxyz++或()fz，积分区域为球体、锥体时，可考虑用球面坐标.14、对弧长的曲线积分计算方法:①设曲线L的参数式为(),()xxttyytab=죣í=î，则有计算公式：()()22''(,)((),())()()Lfxydsfxtytxtytdtba=+òò15、格林公式：设闭区域D由分段光滑曲线L围成，函数(,)Pxy及(,)Qxy在D上具有连续的一阶偏导数，则有：LDQPPdxQdydxdyxyæö¶¶+=-ç÷¶¶èøòòò，其中曲线L取正向边界.注：1）在运用时要注意检验(,)Pxy及(,)Qxy是否具有所需的连续的一阶偏导数2）L是闭合的3）正向定义：沿着曲线L的方向走时，闭区域D在其左手