数列基础知识

数列基础知识梳理一、数列1、数列的定义数列是按照一定顺序排列着的一列数，在函数的意义下，数列是某一定义域为正整数或它的有限子集{1,2,3,4，……，n}的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，其图像是无限个或有限个孤立的点，数列的一般形式为123,,,,,,naaaa通常简记为{}na，其中na是数列的第n项，也叫通项。注意：1）{}na与na是不同的概念，{}na表示数列123,,,,,,naaaa而na表示的是这个数列的第n项2）数列与集合的区别集合中元素性质：确定性，无序性，互异性；数列中数的性质：确定性，有序性，可重复性。2、数列的通项公式当一个数列{}na的第n项na与项数n之间的函数关系可以用一个公式nafn来表示，就把这个公式叫数列{}na的通项公式，可根据数列的通项公式算出数列的各项，也可判断给定的数是否为数列{}na中的项或可确定是第几项。但不是所有数列都可以写出通项公式，数列的通项公式也不唯一。3、数列的表示方法数列看成一个特殊的函数，所有从函数的观点出发，数列的表示方法有以下三种：1）解析法:通项公式和递推公式两种；2）列表法3）图像法（数列的图像是一系列孤立的点）4、数列的分类(1)有穷数列和无穷数列(2)单调数列，搬动数列，常数列5、nna与S的关系11(n1)(n2)nnnSaSS6、等差数列1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示定义的表示为：*n-1(nN,n2)naad或者*1n(nN)naad公差d可正可负或为零，为零时，数列为常数列。2）等差数列的通项公式11,nnmaandaanmd对于第二个公式要求,nmaa是数列中的项即可，也可表示为1,1(nm)nnmaadnaadnm3）等差数列的增减性00=0nnndadada等差数列为递增数列；等差数列为递减数列；等差数列为常数列。4）等差中项任意两个数,ab有且仅有一个等差中项，即2abA。,,2abAaAb三个数构成等差数列。5）等差数列前n项和公式（倒序相加法）11;21.2nnnnaaSnnSnad第二个公式112nnnSnad可整理成21nn22nddSa，设1,B22ddAa则2nnnSAB，nS可看成是关于n的二次函数（常数项为0）那么可以得出一下结论：2n00(2){}S.nnnddaAnBn(1)当是,S有最小值；当是,S有最大值;是等差数列7、等比数列1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等差数列的公比，公差通常用字母(0)qq表示定义的表示为：*n-1(nN,n2)naqa或者*1n(nN)naqa公比0q；当1q时，数列为常数列。2）等比数列的通项公式11,.nnnmnmaaqaaq3）等比数列的增减性1111001010001110nnnnaaaqqaaaqqqaqa或为递增数列；或为递减数列；为常数列；为摆动数列。4）等比中项如果在ab与中间插入一个数G使,,aGb成等比数列，那么G叫做ab与的等比中项。如果G是ab与的等比中项，那么2,G=,G=GbababaG即因此；只有同号的两个数才有等比中项。一个等比数列从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）是它的前一项与后一项的等比中项。5）等比数列前n项和公式11111;111.nnnnaqaaqqSqqqSna当时，当时，等比数列前n项和公式的特点：当0,1qq且时可以化为11-11-nnaaSqqq1=1aAq记，那么-=0nnnnSAAqSABqAB或者（）.二、等差数列、等比数列的性质1.等差数列的性质(1)若公差0d，此数列为递增数列；若公差0d，此数列为递减数列；若0d，此数列为常数列。(2)有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和；特别地若项数为奇数，还等于中间项的2倍。(3)若*mnk,,,,,pmnpkNmnpkaaaa且则，特别地若mn2,2pmnpaaa则此条性质可推广到多项的情形，但要注意等式两边下标和相等，并且两边和的项数相同。(4)等差数列每隔相同项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成新数列依然是等差数列，但剩下的项不一定是等差数列(5)等差数列连续几项之和构成的新数列依然是等差数列，即232,,,nnnnnSSSSS是等差数列。(6)若数列{}na和数列{}nb是等差数列，则{mk}nnab也是等差数列，其中,mk为常数。(7)项数为偶数2n的等差数列{}na，有21211;=nd;.nnnnnnSnaanaaSSSaSa奇偶奇偶项数为奇数21n的等差数列{}na，有2121=.1nnnSnaSSaSnSn奇偶奇偶2.等比数列的性质(1)单调性(2)有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项积相等，并且等于首末两项之积；特别地若项数为奇数，还等于中间项的平方。(3)若*mnk,,,,,pmnpkNmnpkaaaa且则，特别地若2mn2,pmnpaaa则(4)等比数列每隔相同项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成新数列依然是等比数列，但剩下的项不一定是等比数列.(5)0,nnaa皆为等比数列(6)等比数列连续几项之和构成的新数列依然是等比数列，即232,,,nnnnnSSSSS是等比数列。(7)若数列{}na和数列{}nb是等比数列，则{m}{}nnnnmaabb，也是等比数列，其中m为常数。三、等差数列、等比数列的判断方法1.等差数列的判定方法(1)定义法:1nnnaada是等差数列；(2)通项公式法:=nnapnqa是等差数列；(3)中项公式法:122=nnnnaaaa是等差数列；(4)前n项和公式法:2=AnnSnBna是等差数列；2.等比数列的判定方法(1)定义法:1nnnaqaa是等比数列；(2)通项公式法:nnnacqa是等比数列；(3)中项公式法:212nnnnaaaa是等比数列；(4)前n项和公式法:-nnnSAAqa是等比数列；