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《数学广角──植树问题》同步试题一、填空1．学校有一条长60米的小道，计划在道路一旁栽树，每隔3米栽一棵，有（）个间隔。如果两端都各栽一棵树，那么共需（）棵树苗；如果两端都不栽树，那么共需（）棵树苗；如果只有一端栽树，那么共需（）棵树苗。考查目的：考查在一条线段上植树问题的三种情况，正确区分植树棵数和间隔数之间的三种关系。答案：20；21；19；20。解析：先用60÷3求出有20个间隔，再根据在一条线段上植树问题的三种情况的数学模型来解答：如果两端都植树，棵数=间隔数+1；如果两端都不植树，棵数=间隔数-1；如果一端植一端不植，棵数=间隔数。2．把10根橡皮筋连接成一个圈，需要打（）个结。考查目的：考查在封闭曲线上的植树问题（间隔数=植树棵数）。答案：10。解析：首先明确这道题是在封闭曲线上的植树问题，有10根橡皮筋相当于间隔数是10，打结的个数就相当于植树棵数。因为在封闭曲线上间隔数=植树棵数，所以打结的个数是10。3．在一个正方形的每条边上摆4枚棋子，四条边上最多能摆（）枚，最少能摆（）枚。考查目的：考查封闭图形的植树问题中，角上是否植树会决定植树的总棵树。答案：16；12。解析：正方形每条边上摆4枚棋子，有两种摆法：四个角都摆棋子和四个角都不摆棋子。当四个角都不摆棋子时，四条边上摆的棋子最多，一共能摆4×4=16枚棋子；当四个角都摆棋子时，角上的棋子同时属于相邻的两条边，这时摆的棋子总数最少，要减去角上重复的4枚棋子，所以最少能摆4×4-4=12枚棋子。4．豆豆和玲玲同住一幢楼，每层楼之间有20级台阶，豆豆住二楼，玲玲住五楼。豆豆要从自己家到玲玲家去找她玩，需要走（）级台阶。考查目的：考查植树问题数学模型的逆向应用。答案：60解析：每层楼之间有20级台阶，相当于间隔是20；从二楼到五楼有3个间隔，求需要走多少级台阶也就是求总数，所以用20×3，得到答案为60。5．如下图，每两块正方形瓷砖中间贴一块长方形彩砖。像这样一共贴了50块长方形彩砖，那么正方形瓷砖有（）块（第一块和最后一块都是正方形瓷砖）。考查目的：考查学生观察和运用植树问题的数学模型解决实际问题的能力。答案：51。解析：观察图中共有9块长方形彩砖，10块正方形瓷砖。由于第一块和最后一块都是正方形瓷砖，所以正方形瓷砖比长方形彩砖多1块，长方形彩砖有50块，那么正方形瓷砖就有51块。6．15个同学在操场上围成一个圆圈做游戏，每相邻两个同学之间的距离都是2m，这个圆圈的周长是（）m。考查目的：考查在封闭曲线上的植树问题的逆向应用（即已知间隔距离和植树棵数，求全长）。答案：30。解析：这道题是在封闭曲线上的植树问题，学生数量=间隔数，间隔数是15；间距是2m，全长=间距×间隔数，所以圆圈的周长是2×15=30（米）。7．一座楼房每上一层要走18级台阶，王芳回家共上了108级台阶，她家住在（）楼。考查目的：考查植树问题数学模型在生活中的实际应用。答案：7。解析：这道题可以看作是两端都栽的植树问题，先用总数÷间距求出间隔数（108÷18=6），在两端都栽的情况下，植树棵数=间隔数+1，因此6+1=7，王芳家住7楼。8．小东把一些5角的硬币平均排列在一张正方形纸的周边，每边的硬币数相等，这些硬币的总面值是12元。每边最多能放（）枚硬币。考查目的：考查用封闭曲线上的植树问题模型综合解决问题的能力。答案：7。解析：首先用12÷0.5=24，求出一共有24枚硬币。根据在封闭曲线上的植树问题模型，正方形四周有24枚硬币就有24个间隔，24÷4=6，每条边有6个间隔。要使每边硬币数量最多，就要两端都放。在两端都栽的植树问题中，植树棵数=间隔数＋1，因此每边最多能放6+1=7枚硬币。二、选择1．7路公共汽车行驶路线全长8千米，每相邻两站的距离是1千米。一共有几个车站？正确的算式是（）。A.7÷1+1B.8÷1-1C.8÷1+1考查目的：考查学生是否能正确运用植树问题的数学模型解决问题。答案：C解析：本题首尾都要设车站，属于在一条线段上两端都栽的植树问题。一共有几个车站也就是求植树棵数，植树棵数=间隔数+1，因此应该用8÷1+1，正确答案是C。选项A错在求间隔数的方法，应该用全长8km除以每相邻两站的距离，而不是7÷1，教师应提醒学生认真审题。2．一根木头长10米，要把它平均分成5段。每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少分钟？这道题属于哪种类型？（）A.不是植树问题B.两端都栽的植树问题C.两端都不栽的植树问题考查目的：考查学生能否正确分辨生活中的植树问题的具体类型。答案：C解析：锯木头中隐藏着总数和间隔数之间的关系，也属于植树问题。本题属于在一条线段上植树两端都不栽的情况，因此正确答案是C。3．工程队埋电线杆，每隔40m埋一根，连两端在内，共埋71根。这段路全长（）米。A.40×（71+1）=2880B.40×71=2840C.40×（71-1）=2800考查目的：考查学生能否正确区分在一条线段上植树的三种情况的不同数量关系。答案：C解析：本题是在一条线段上两端都栽的植树问题的逆向应用，全长=间距×间隔数，在两端都栽的情况下，间隔数=植树棵数-1，因此正确答案是C。4．小华和爷爷同时上楼，小华上楼的速度是爷爷的2倍，当爷爷到达4楼时，小华到了（）楼。A.8B.7C.6考查目的：考查学生是否能综合运用植树问题的数学模型灵活解题。答案：B解析：爷爷到达4楼走了3层楼梯，小华的速度是爷爷的2倍，这时小华应该走了6层楼梯，所以小华应该到了7楼，正确答案是B。如果学生没有按植树问题思路思考，直接用4×2=8，就会出现选A的错误。5．一根20m长的长绳，可以剪成（）根2m长的短绳，要剪（）次。A.10；9B.10；10C.9；10考查目的：考查学生能否分清在一条线段上的植树问题中的间隔数和植树棵数。答案：A解析：本题可以用植树问题的思想方法来解决。要求20m的长绳可以剪成几根2m长的短绳，也就是求20里面有几个2，用20÷2=10，也就是剪成10段；剪的次数比段数少1，10-1=9，要剪9次，所以正确答案是A。三、解答1．星光小区车位不足，在小区路的一边每5m安置一个车位，用“⊥”标志隔开，在一段100m长的路边最多可停放多少辆车？需要画多少个“⊥”标志？考查目的：考查学生用植树问题的数学模型解决生活中实际问题的能力。答案：①100÷5=20（辆）；②20-1=19（个）。答：最多可停放20辆车，需要画19个“⊥”标志。解析：路的两端不用画“⊥”标志，本题相当于在一条线段上两端都不栽的植树问题。先用100÷5=20，求出有20个间隔，即可以停放20辆车；再用间隔数-1，求出植树棵数，20-1=19，也就是需要画19个“⊥”标志。2．一条小道两旁，每隔5米种一棵树（两端都栽），共种202棵树，这条路长多少米？考查目的：考查在一条线段上植树问题的逆向应用。答案：202÷2＝101（棵)101-1＝100（段)5×100＝500（米)答：这条小道长500米。解析：首先审题时注意，是小道两旁共种202棵树，先用202÷2=101，求出道路一边植树101棵。在两端都栽的情况下，间隔数=植树棵数-1，101-1=100，有100个间隔，再用间距乘间隔数即求出全长，所以得5×100=500米。3．在400米的环形跑道四周每隔5米插一面红旗，两面黄旗，需要多少面红旗，多少面黄旗？考查目的：考查运用在封闭曲线上的植树问题的数学模型解决问题的能力。答案：400÷5＝80（段)红旗：1×80＝80（面)黄旗：2×80＝160（面)答：共需要80面红旗，160面黄旗。解析：本题是在封闭曲线上的植树问题，植树棵数=间隔数，先求间隔数400÷5=80。由于每个间隔插一面红旗，所以红旗的面数就等于间隔数；而每个间隔插两面黄旗，所以黄旗数量为2×80=160。4．学校的苗圃长17m，宽5m，平均每平方米种2株杜鹃花，一共可以种多少株杜鹃花？考查目的：考查学生是否能正确区分所问问题是否属于植树问题。答案：17×5=85（m2）85×2=170（株）答：一共可以种170株杜鹃花。解析：本题以种花为题材，看似植树问题，实际并不属于植树问题，因此不能用植树问题的思路来解答。题中给出的信息是“平均每平方米种2株杜鹃花”，要求一共种多少株杜鹃花，必须先求出苗圃的面积。学生如果不认真审题看图，就容易受本单元所学植树问题的干扰，出现先求周长然后按植树问题数学模型来解答的错误。5．学校六一庆祝会上，在一个长9m、宽3m的长方形舞台外沿，每隔1m挂一束气球（一束气球有3个），靠墙的一面不挂，但四个角都要挂。一共需要多少个气球？考查目的：考查学生综合运用周长和植树问题等相关知识解决实际问题的能力。答案：3×2+9=15（m）15÷1+1=16（束）3×16=48（个）答：一共需要48个气球。解析：本题既不是在一条线段上的植树问题，也不是在封闭曲线上的植树问题，但可以“化曲为直”，转化为在一条线段上的植树问题。先把挂气球的三条边相加求出全长，即3×2+9=15（m）；由于四个角都要挂气球，相当于“两端都要栽”的情况，植树棵数=间隔数+1，15÷1+1=16，求出一共挂16束气球；一束气球有3个，求一共需要多少个气球，所以最后一步用3×16=48求得气球的数量。