年级上册数学第一章《三角形初步认识》讲义

0/9第一章《三角形的初步认识》：1、认识三角形①“△ABC”读作“三角形ABC”。三角形任何两边的和大于第三边。②三角形三个内角的和等于180°。三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。2、三角形的平分线和中线在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角形的平分线。在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。3、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。4、全等三角形能够重合的两个三角形称为全等三角形。两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。“全等”可用符号“≌”来表示。全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。【经典例题：】1、如下左图，在△ABC中，∠C=30°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于.2、如上中图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=。3、在ABC中，如上右图，CD平分ACB，BE平分ABC，CD与BE交于点F，若120DFE，则A4、如下左图，已知∠1=42°，∠2=30°，∠3=38°，则∠4=_________。5、如上右图，△ABC中，AB=AC=13cm，AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,若△EBC的周长为21cm,ABCDEPABCED第5题A1/9则BC=cm.7、如图，矩形ABCD中(ADAB)，M为CD上一点，若沿着AM折叠，点N恰落在BC上，则∠ANB+∠MNC=____________；8、请你找一个长方形的纸片，按以下步骤进行动手操作：步骤一：在CD上取一点P，将角D和角C向上翻折，这样将形成折痕PM和PN，如下左图所示；步骤二：翻折后，使点D、C落在原长方形所在的平面内，即点D′和C′，细心调整折痕PN、PM的位置使PD′，PC′重合如下右图，设折角∠MPD′=α，∠NPC′=β(1)猜想∠MPN的度数；(2)若重复上面的操作过程，并改变α的大小，猜想：随着α的大小变化，∠MPN的度数怎样变化？并说明你猜想的正确性。9、设△ABC的三边为a、b、c，化简______________|bac||acb||cba|10、如图，C在直线BE上，∠ABC与∠ACE的角平分线交于点A1，(1)若∠A=60°，求∠A1的度数；(2)若∠A=m，求∠A1的度数；(3)在(2)的条件下，若再作∠A1BE、∠A1CE的平分线，交于点A2；再作∠A2BE、∠A2CE的平分线，交于点A3；……；依次类推，则∠A2，∠A3，……，∠An分别为多少度？5、三角形全等的条件①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。②有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。BCDNM2/9③有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。角平分线上的一点到角两边的距离相等。6、作三角形:在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。【例1】如上右图，已知AB、CD相交于O，△ACO≌△BDO，AE=BF，试说明CE=FD．【分析】本题考查SAS公理的应用，要证CE=FD，只要证△OCE≌△ODF．显然∠EOC=∠FOD．需证OE=OF，OC=OD．因AE=BF，故需证OA=OB，由已知△ACO≌△BDO，可得OC=OD，OA=OB．【解】∵△ACO≌△BDO∴CO=DO，AO=BO∵AE=BF，∴EO=FO在△EOC与△FOD中CODOCOEDOFECFD∴△EOC≌△FOD，∴EC=FD【例2】如图，在△ABC中，AD为BC边上中线．试说明AD（AB+AC）．【分析】证明边之间的关系一般是在一个三角形中利用“三角形边的关系推论”，所以考虑把线段AB、AD、AC的等价线段放在一个三角形中．因此需添加辅助线，而涉及到一边的中线问题需要引辅助线，常用方法：延长中线使之延长后的线段与中线相等并连结，构造成两个三角形全等．【解】延长AD到E，使DE=AD在△ACD与△EDB中ADEDADCEDBCDBD∴△ADC≌△EDB∴BE=CA在△EBA中，AEAB+BE∴2ADAB+AC即AD12（AB+AC）【学生练习1：】1、两边和一角对应相等的两个三角形（）A．全等B．不全等C．不一定全等D．以上判断都不对2、如图，AE=CF，∠A=∠C，AD=CB，试说明△ADF≌△CBE．3/93、如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，CE=DF，AB=EF．试说明：AC∥BD．4、如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，则BC上的中线AD的取值范围是多少？5、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，延长ED至P，使ED=DP，连接FP与CP，试判断BE+CF与EF的大小关系．6、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2．∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积．【例3】如图，已知AB=AC，D、E两点分别在AB、AC上，且AD=AE，试说明：△BDF≌△CEF．【分析】在△BFD与△CFE中，有一组对角相等，由已知条件得，BD=CE，只要证明它们的另一组对角∠C与∠B相等，就可证出结论，为了证∠C=∠B，可以由△ACD与△ABE全等得到．4/9【解】在△ABE与△ACD中ABACAAADAE∴△ABE≌△ACD，∴∠B=∠C∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE在△BDF与△CEF中BCDFBEFCBDCE∴△BDF≌△CEF．【例4】如图，BD、CE交于O，OA平分∠BOC，△ABD的面积和△ACE的面积相等，试说明BD=CE．【分析】有了角平分线性质定理，使证明线段相等又多了一种方法．同时利用图形的面积关系转化成线段之间的长度关系，也是几何证明题中常用的方法．【解】过A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G．∵OA平分∠BOC∴AF=AG（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）∵S△ABD=S△ACE∴12AF·BD=12AG·CE∴BD=CE．【学生练习2：】1、如图1，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD、CD，并延长交AC、AB于F、E，则图形中全等三角形有（）A．2对B．3对C．4对D．5对(1)(2)(3)2、如图2，BC⊥AC，BD⊥AD，垂足分别是C和D，若要根据AAS定理，使△ABC≌△ABD（AAS），应补上条件________或___________．3、如图3，已知∠1=∠2，∠3=∠4，说明AD=BC的理由．解：∵_________，__________（已知）∴∠1+∠3=_________．即_______=_______．在_________和________中∴△_______≌△_______（）∴AD=BC（）4、如果点P是三角形三条角平分线的交点，则点P到三角形_______的距离相等．5、如图，已知M是AB的中点，∠1=∠2，∠C=∠D．说出下列判断正确的理由：（1）△AMC≌△BMD；（2）AC=BD．5/96、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作AE的垂线CF，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．（1）试说明：AE=CD；（2）AC=12cm，求BD的长．6、如图，在△ABD和△ACE中，有下列4个诊断：①AB=AC，②∠B=∠C，③∠BAC=∠EAD，④AD=AE．请以其中三个诊断作条件，余下一个诊断作为结论（用序号○×○×○×○×的形式）写出一个由三个条件能推出结论成立的式子，并说明原因．7、如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E，∠C=∠D，AM⊥CD于M，BC=DE，试说明M为CD的中点．8、如图，△ABC两条角平分线BD、CE相交于点O，∠A=60°，求证：CD+BE=BC．6/9【学生练习3：】1、在下列各组图形中，是全等的图形是()A、B、C、D、2、下列各图中，正确画出AC边上的高的是()A、B、C、D、3、如图1，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是()A、两点之间的线段最短；B、三角形具有稳定性；C、长方形是轴对称图形；D、长方形的四个角都是直角；4、图2中的三角形被木板遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是()A、一个锐角，一个钝角；B、两个锐角；C、一个锐角，一个直角；D、一个直角，一个钝角；5、以下不能构成三角形三边长的数组是()A、(1，3，2)B、(3，4，5)C、(23，24，25)D、(3，4，5)6、一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是()A、115°B、120°C、125°D、130°7、小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图3所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带()去A、第1块；B、第2块；C、第3块；D、第4块；8、如图4，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=()A、150°B、130°C、120°D、100°9、用12根火柴棒(等长)拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是()A、1B、2C、3D、410、如图5，在△ABC中，D、E分别是AC、BC边上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为()AAAABBBBCCCCEEEEBACDEF图1图21234图3ABCDEPBCE图47/9A、15°B、20°C、25°D、30°11、在△ABC中，若∠A－∠B=90°，则此三角形是三角形；若CBA3121，由此三角形是三角形；12、设△ABC的三边为a、b、c，化简______________|bac||acb||cba|13、已知三角形的两边长分别是3cm和7cm，第三边长是偶数，则这个三角形的周长为___________cm；14、如图7，在△ABC中，已知AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠CED=________15、如图8，把矩形ABCD沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，如果AD=35cm，DM=5cm，∠DAM=30°，则AN=_____cm，NM=______cm，∠BNA=_________度；16、如图9，△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BD、CE交于点O，且AD=AE，连结AO，则图中共有_________对全等三角形；17、如图10，已知∠B=∠C，AD=AE，则AB=AC，请说明理由(填空)解：在△ABC和△ACD中，∠B=∠______(__________)∠A=∠______(________________)AE=________(__________)∴△ABE≌△ACD(______________)∴AB=AC(______________________________)18、如图11所，∠A+∠B+∠C+∠D