微积分：六个不定积分计算步骤及其答案D5

微积分：六个数学不定积分计算步骤1.计算10x-175x²-17x+4dx。解：观察积分函数特征，对于积分函数的分母有(5x²-17x+4)'=10x-17，刚好是分母表达式，故本题可以用积分公式dxx=lnx+c来变形计算。10x-175x²-17x+4dx=d(5x²-17x)5x²-17x+4=d(5x²-17x+4)5x²-17x+4=ln|5x²-17x+4|+C。2.计算(25x²-33)²dx.解：对此类型总体思路是降次积分，有两种思路，思路一是将积分函数2次幂展开，再分别计算不定积分，即：(25x²-33)²dx=(25²x⁴-1650x²+33²)dx,=25²x⁴dx-1650x²dx+33²dx,=15*25²x⁵-13*1650x³+33²x+C.思路二：通过分部积分进行计算，有：(25x²-33)²dx=(25x²-33)²x-xd(25x²-33)²，=(25x²-33)²x-4*25x²(25x²-33)dx，=(25x²-33)²x-4*25(25x⁴-33x²)dx，=(25x²-33)²x-4*25²x⁴dx+4*25*33x²dx,=(25x²-33)²x-45*25²x⁵+23*1650x³+C。3.积分dx(x²-16x+87)的计算。解：根据积分函数的特点，分母看作成二次函数，则判别式△=16²-4*87＜0,即与x轴没有交点，故分母函数可以通过配方得到形如(x-a)²+c的形式，再根据不定积分公式dx1+x²=arctanx+C变形计算即可，有：dx(x²-16x+87)=dxx²-16x+64+23=dx(x-8)²+23=123dx1+(x-8)²23=123dx231+(x-8)²23,=123arctanx-823+C。4.计算(8370x+56x35)²dx.解：本题主要采用将积分函数通过平方展开后，再分别进行积分，有：(8370x+56x35)²dx=[(8370x)²+2*8370*5635+(56x35)²]dx,=(8370)²dxx²+664175dx+(5635)²x²dx,=-(8370)²x+664x175+13*(5635)²x³+C。5.计算(8x³-20x²+46)78(24x²-40x)dx不定积分计算解:本积分函数的特征是变形指数低的部分，即后一项，又因为(8x³-20x²+46)'=24x²-40x,所以可以使用凑分法进行不定积分计算，则：(8x³-20x²+46)78(24x²-40x)dx=(8x³-20x²+46)78d(8x³-20x²+46),=179(8x³-20x²+46)79+C.6.计算xln(5x-42)dx。解:本积分出现自然对数与一次函数x的乘积形式，思路是将x凑分到积分单元中，再进行分部积分法，有：xln(5x-42)dx=12ln(5x-42)dx²，=12x²ln(5x-42)-12x²dln(5x-42),=12x²ln(5x-42)-52x²dx5x-42,=12x²ln(5x-42)-(x+425)dx-(425)²d(5x-42)5x-42,=12x²ln(5x-42)-12x²-42x5-(425)²*ln(5x-42)+C。