高中数学必修一基本初等函数知识点与典型例题总结

指数函数1、定义域.2、值域.R3、图象a10a1R+yxo1yxo1yax(a0,a1)a10a1图象性质1.定义域：2.值域：3.过点,即x=时,y=4.在R上是函数在R上是函数(,)(0,)(0,1)01增减指数函数y=ax(a0,且a≠1)的性质：yxoy=1(0,1)yx(0,1)y=1o4.有理数指数幂的运算性质:(a＞0,b＞0,r,s∊Q)(1);rsrsaaa(2)();rsrsaa(3)().rrrabab6.第一象限中,指数函数底数与图象的关系图象从下到上,底数逐渐变大.xoyxyaxybxycxydxoyxyaxybxycxydx=1xoyxyaxybxycxydxoyxyaxybxycxydx=1x=101badc由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象：保留y=f(x)中y轴右侧部分,再加上这部分关于y轴对称的图形.||(4)22xxyy与oxy【3】说出下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系,并画出它们的示意图.变式训练题型二指数函数的图象及应用【例2】(1)函数y＝xax|x|(0a1)图象的大致形状是()(2)若函数y＝ax＋b－1(a0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则a,b的取值范围是__________________．(3)方程2x＝2－x的解的个数是________．题型三【例3】设a＞0且a≠1，函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值为14，求a的值.指数函数的性质及应用1.对数的概念(1)对数的定义如果ax=N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数,记作_________,其中____叫做对数的底数,____叫做真数.Nx=logaNa对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a≠1)_______常用对数底数为__________自然对数底数为__________lnNlgNlogaN(2)几种常见对数10e2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①负数和零没有对数;②logaa=1；③loga1=0.(2)积、商、幂的对数运算法则：(a0,且a1,M0,N0)④1loglog.naaMMn①log()loglog;aaaMNMN②logloglog;aaaMMNN③loglog(R);naaMnMn2.对数的性质与运算法则(3)对数的重要公式1)对数的换底公式logloglogcacbba(,(0,1)(1,),0)acb3)四个重要推论①lgllnlog;nglababba②loglog;mnaanNNm③1log;logabbalogloglog.aabcbc④且,log(010)aNaNaaN2)对数恒等式函数y=logax(a＞0且a≠1)图象定义域值域单调性过定点趋势取值范围(0,+∞)R增函数(1，0)底数越大，图象越靠近x轴0x1时,y0x1时,y00x1时,y0x1时,y0底数越小，图象越靠近x轴(1，0)减函数R(0,+∞)3.对数函数图象与性质指数函数y=ax与对数函数_________互为反函数,它们的图象关于直线_________对称.y=logaxy=x4.反函数5.第一象限中,对数函数底数与图象的关系图象从左到右,底数逐渐变大.yxoy=1yxoyxoyxoy=1例4.方程的解有__个.2|2||log|xx3xyo12图象应用问题【1】方程的解有__个.20.5lg(1)2xx2【2】函数的图象恒过点_______.log(2)1(0,1)ayxaa且()1,1oxy练一练【3】已知0＜a＜1，方程a|x|=|logax|的实根个数是_______个．【点评】当判断方程f(x)=g(x)的实根个数时，我们可转化为判断函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像的交点的个数．1oxy2练一练题型二对数函数的图象与性质【例2】作出函数y＝log2|x＋1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数y＝log2x的图象经过怎样的变换而得到．函数y＝log2|x＋1|的递减区间为(－∞,－1)，递增区间为(－1,＋∞).作出函数y＝log2x的图象,将其关于y轴对称得到函数y=log2|x|的图象,再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知,作一些复杂函数的图象,首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来.一般是先作出基本函数的图象,通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象.探究提高思想与方法数形结合思想在对数函数中的应用(14分)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a0且a≠1)．求证:(1)函数f(x)的图象总在y轴的一侧；(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.证明:(1)由ax－10，得ax1，[1分]∴当a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(0,＋∞),此时函数f(x)的图象在y轴的右侧；[3分]当0a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(－∞,0),此时函数f(x)的图象总在y轴的左侧．[5分]∴函数f(x)的图象总在y轴的一侧．[6分]证明:(1)由ax－10，得ax1，[1分]∴当a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(0,＋∞),此时函数f(x)的图象在y轴的右侧；[3分]当0a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(－∞,0),此时函数f(x)的图象总在y轴的左侧．[5分]∴函数f(x)的图象总在y轴的一侧．[6分]证明:(1)由ax－10，得ax1，[1分]∴当a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(0,＋∞),此时函数f(x)的图象在y轴的右侧；[3分]当0a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(－∞,0),此时函数f(x)的图象总在y轴的左侧．[5分]∴函数f(x)的图象总在y轴的一侧．[6分]证明:(1)由ax－10，得ax1，[1分]∴当a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(0,＋∞),此时函数f(x)的图象在y轴的右侧；[3分]当0a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(－∞,0),此时函数f(x)的图象总在y轴的左侧．[5分]∴函数f(x)的图象总在y轴的一侧．[6分]证明:(1)由ax－10，得ax1，[1分]∴当a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(0,＋∞),此时函数f(x)的图象在y轴的右侧；[3分]当0a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(－∞,0),此时函数f(x)的图象总在y轴的左侧．[5分]∴函数f(x)的图象总在y轴的一侧．[6分]证明:(1)由ax－10，得ax1，[1分]∴当a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(0,＋∞),此时函数f(x)的图象在y轴的右侧；[3分]当0a1时,x0,即函数f(x)的定义域为(－∞,0),此时函数f(x)的图象总在y轴的左侧．[5分]∴函数f(x)的图象总在y轴的一侧．[6分](2)设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)图象上的任意两点,且x1x2，则直线AB的斜率k＝y1－y2x1－x2.[7分]1122121log(1)log(1)log,1xxxaaaxayyaaa当a1时，由(1)知0x1x2，121,xxaa12011.xxaa∴121011xxaa，∴y1－y20.又x1－x20，∴k0.[9分]当0a1时，由(1)知x1x20，∴121,xxaa∴1211xxaa0.[10分]当a1时，由(1)知0x1x2，121,xxaa12011.xxaa∴121011xxaa，∴y1－y20.又x1－x20，∴k0.[11分]当0a1时，由(1)知x1x20，∴121,xxaa∴1211xxaa0.[10分]当a1时，由(1)知0x1x2，121,xxaa12011.xxaa∴121011xxaa，∴y1－y20.又x1－x20，∴k0.[9分]当0a1时，由(1)知x1x20，∴121,xxaa∴1211xxaa0.[13分]当a1时，由(1)知0x1x2，121,xxaa12011.xxaa∴121011xxaa，∴y1－y20.又x1－x20，∴k0.[9分]当0a1时，由(1)知x1x20，∴121,xxaa∴1211xxaa0.[10分]当a1时，由(1)知0x1x2，121,xxaa12011.xxaa∴121011xxaa，∴y1－y20.又x1－x20，∴k0.[9分]当0a1时，由(1)知x1x20，∴121,xxaa∴1211xxaa0.[10分]当a1时，由(1)知0x1x2，121,xxaa12011.xxaa∴121011xxaa，∴y1－y20.又x1－x20，∴k0.[9分]当0a1时，由(1)知x1x20，∴121,xxaa∴1211xxaa0.[10分][8分]∴12111xxaa，∴y1－y20.又x1－x20，∴k0.∴函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.[12分]∴12111xxaa，∴y1－y20.又x1－x20，∴k0.∴函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.[14分]批阅笔记说到数形结合思想，我们更多的会想到以“形”助“数”来解决问题．事实上，本题是以“数”来说明“形”的问题，同样体现着数形结合的思想．本题的易错点是：①找不到证明问题的切入口．如第(1)问，很多考生不知道求其定义域．②不能正确进行分类讨论．若对数或指数的底数中含有参数，一般要进行分类讨论.xy32112,,,,yxyyxyxxxy的图象.O一般地，函数叫做幂函数yxx是自变量，是常数幂函数的性质21,011（）（）所有的幂函数在（0,+)上都定义，且图象都经过；（）如果，则图象过原点，且在[0,+)上为增函数；30,04xyyxxx如果，则幂函数图象在区间＋上是，在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴＜减函数为奇数，当趋向于＋时，图象在轴上方无限地逼近轴；当时奇函数为偶，幂函数为；当时，幂函数为数偶函数．1、求函数的单调区间，并指出其单调性.221()3xxy设y=f(t),t=g(x)，则（1）当f(t)和g(x)的单调性相同时，f[g(x)]为增函数；（2）当f(t)和g(x)的单调性相反时，f[g(x)]为减函数；xaxxf.函数(a0)的大致图像xaxxfxy0aa2a2a利用所掌握的函数知识,探究函数(a0)的性质.xaxxf1.定义域2.奇偶性(-∞,0)∪(0,+∞)奇函数f(-x)=-f(x)xaxxf210,,xx上式中为使上式符号确定1212212121121221211212,(0,),.()()()()()xxxxaafxfxxxxxaxxxxaxxxxxxxx任取则3.确定函数(a0)的单调区间⑴.当x∈(0,+∞)时,确定某单调区间121212,.xxxxaxxa对任意或都成立12121212121221,,,,.,,,(,.,()().(,f(x).,(0,,f(x).xxaxxxxxxxxxxaxfxxx当时由是任意的知可无限接近而在同一个区间取值知a,+)时都成立此时f所以a,+)时是增函数同时可知a)时是减函数⑵.当x∈(