专题七-函数、导数与零点、恒成立问题(整理)

专题函数、导数与零点、恒成立问题1函数、导数与零点问题例1、已知函数ln()xfxeaa为常数是实数集R上的奇函数，函数singxfxx是区间[一1，1]上的减函数．(I)求a的值；(II)若21gxtt在x∈[一1，1]上恒成立，求t的取值范围．(Ⅲ)讨论关于x的方程2ln2()xxexmfx的根的个数。变式1、若,ln6)(mxxg问是否存在实数m，使得y=f（x）=28xx的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.变式2、已知函数f(x)=－x2+8x,g(x)=6lnx+m（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。专题函数、导数与零点、恒成立问题2例2、已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.变式3．奇函数cxbxaxxf23)(的图象E过点)210,22(),2,2(BA两点.（1）求)(xf的表达式；（2）求)(xf的单调区间；（3）若方程0)(mxf有三个不同的实根，求m的取值范围.例3．已知()fx是二次函数，不等式()0fx的解集是(0,5),且()fx在区间1,4上的最大值是12。（I）求()fx的解析式；（II）是否存在自然数,m使得方程37()0fxx在区间(,1)mm内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。专题函数、导数与零点、恒成立问题3变式4．已知函数)(3),,(8ln6)(2xfxbabxaxxxf为且为常数的一个极值点.（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数)(xf的单调区间；（Ⅲ）若)(xfy的图象与x轴有且只有3个交点，求b的取值范围.例4．已知函数xxfln)(（Ⅰ）若)()()(RaxaxfxF，求)(xF的极大值；（Ⅱ）若kxxfxG2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.变式5、已知两个二次函数：1)(2bxaxxfy与22()1(0)ygxaxbxa，函数y＝g（x）的图像与x轴有两个交点，其交点横坐标分别为1212,()xxxx（1）试证：()yfx在（－1，1）上是单调函数（2）当a1时，设3x，4x是方程210axbx的两实根，且34xx，试判断1x，2x，3x，4x的大小关系变式6．设函数,)(xexfmx其中.Rm（1）求函数)(xf的最值；（2）判断，当1m时，函数)(xf在区间)2,(mm内是否存在零点。专题函数、导数与零点、恒成立问题4函数、导数与零点问题答案例1、解：（I）)ln()(aexfx是奇函数，则(0)0f恒成立.0ln()0.ea01,0.eaa（II）又)(xg在[－1，1]上单调递减，,1sin)1()(maxgxg,11sin2tt只需.)1(011sin)1(2恒成立其中tt令),1(11sin)1()(2tth则,011sin1012ttt,01sin01sin122恒成立而ttttt1t.（III）由（I）知,2ln,)(2mexxxxxxf方程为令mexxxfxxxf2)(,ln)(221，21ln1)(xxxf，当],0()(,0)(,),0(11exfxfex在时上为增函数；),0[)(,0)(,),[11exfxfex在时上为减函数，当ex时，.1)()(1max1eefxf而222)()(emexxf，)(1xf函数、)(2xf在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当eemeem1,122即时，方程无解.②当eemeem1,122即时，方程有一个根.③当eemeem1,122即时，方程有两个根.变式1、令.ln68)()(),()()(2mxxxxfxgxfxgx则因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数mxxxxln68)(2的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点)0()3)(1(2682682)(2'xxxxxxxxxx当x∈（0，1）时，)(,0)('xx是增函数；当x∈（1，3）时，)(,0)('xx是减函数当x∈（3，+∞）时，)(,0)('xx是增函数当x=1或x=3时，0)('x∴;7)1()(mx极大值为153ln6)3()(mx极小值为又因为当x→0时，)(x当)(xx时，所以要使0)(x有且仅有两个不同的正根，必须且只须0)1(0)3(0)3(0)1('或即070153ln60153ln607mmmm或∴m=7或.3ln615m∴当m=7或.3ln615m时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点。专题函数、导数与零点、恒成立问题5变式2、解：（I）22()8(4)16.fxxxx当14,t即3t时，()fx在,1tt上单调递增，22()(1)(1)8(1)67;htfttttt当41,tt即34t时，()(4)16;htf当4t时，()fx在,1tt上单调递减，2()()8.htfttt综上，2267,3,()16,34,8,4ttthttttt　　　　　　（II）函数()yfx的图象与()ygx的图象有且只有三个不同的交点，即函数()()()xgxfx的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。22()86ln,62862(1)(3)'()28(0),xxxxmxxxxxxxxxx当(0,1)x时，'()0,()xx是增函数；当(0,3)x时，'()0,()xx是减函数；当(3,)x时，'()0,()xx是增函数；当1,x或3x时，'()0.x()(1)7,()(3)6ln315.xmxm最大值最小值当x充分接近0时，()0,x当x充分大时，()0.x要使()x的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70,()6ln3150,xmxm最大值最小值即7156ln3.m所以存在实数m，使得函数()yfx与()ygx的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,156ln3).例2．解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，即,03230323baba解得a=1，b=0.∴f(x)=x3－3x.（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，当－1x1时，f′(x)0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|；|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足.30300xxy因)1(3)(200xxf，故切线的斜率为13)1(3003020xmxxx，整理得03322030mxx.∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，∴关于x0方程3322030mxx=0有三个实根.设g(x0)=3322030mxx，则g′(x0)=60206xx，由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.∴函数g(x0)=3322030mxx的专题函数、导数与零点、恒成立问题6极值点为x0=0，x0=1∴关于x0方程3322030mxx=0有三个实根的充要条件是0)1(0)0(gg，解得－3m－2.故所求的实数a的取值范围是－3m－2变式3．解：（1）axbxaxxf23)(为奇函数0)()()(bRxxfxf∴cxaxxf3)(∵图象过点)2,2(A、)210,22(B3,15812210222162222cacacacaca即xxxf3)(3（2）)1)(1(333)(3)(23xxxxfxxxf0)(,11;0)(,11xfxxxfx时或时)(xf的增区间是),1()1,(和，减区间是（－1，1）（3）2)1(,2)1(ff为使方程mxfmxf)(0)(即有三个不等根，则2222mm即m的取值范围是（－2，2）例3、解：（I）()fx是二次函数，且()0fx的解集是(0,5),可设()(5)(0).fxaxxa()fx在区间1,4上的最大值是(1)6.fa由已知，得612,a22,()2(5)210().afxxxxxxR（II）方程37()0fxx等价于方程32210370.xx设32()21037,hxxx则2'()6202(310).hxxxxx当10(0,)3x时，'()0,()hxhx是减函数；当10(,)3x时，'()0,()hxhx是增函数。101(3)10,()0,(4)50,327hhh方程()0hx在区间1010(3,),(,4)33内分别有惟一实数根，而在区间(0,3),(4,)内没有实数根，所以存在惟一的自然数3,m使得方程37()0fxx在区间(,1)mm内有且只有两个不同的实数根。变式4．解：（Ⅰ）826)(axxxf10862)3(aaf可得（Ⅱ）由（Ⅰ）知bxxxxf8ln6)(2)0()34(2826)(2xxxxxxxf由130)(xxxf或可得；由310)(xxf可得∴函数)(xf的单调递增区间为),3[],1,0(函数)(xf的单调递减区间为[1，3]（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函数)(xf在]1,0(单调递增；函数)(xf在[1，3]单调递减；函数)(xf在[3，+)单调递增；当x=1或x=3时，0)(xf7811ln6)1()(bbfxf极小值153ln62493ln6)3()(bbfxf极小值0)(,0)(,0xfxxfx充分大时当时充分接近当∴要使)(xf的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只须专题函数、导数与零点、恒成立问题70153ln6)3()(07)(bfxfbxf极小值极大值即3ln6157b例4．解：（Ⅰ）xaxxaxfxFln)()(定义域为),0(x2ln)1()(xxaxF令