初一数学一元一次方程概念与解法

1初一数学——一元一次方程概念与解法一、考点、热点回顾板块考试要求A级要求B级要求C级要求方程知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型能够根据具体问题中的数量关系，列出方程能运用方程解决有关问题方程的解了解方程的解的概念会用观察、画图等手段估计方程的解一元一次方程了解一元一次方程的有关概念会根据具体问题列出一元一次方程能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各个步骤能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数（无需讨论）的一元一次方程的解会运用一元一次方程解决简单的实际问题黑体小四一、等式的概念和性质1．等式的概念楷体五用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．2．等式的类型（1）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．如：数字算式123．（2）条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．方程56x需要1x才成立．（3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．如125，11xx．注意：等式由代数式构成，但不是代数式．代数式没有等号．楷体3．等式的性质楷体等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若ab，则ambm；等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若ab，则ambm，abmm(0)m．注意：（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边．（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果ab，那么ba．②等式具有传递性，即：如果ab，bc，那么ac．黑二、方程的相关概念1．方程楷含有未知数的等式叫作方程．注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母．二者缺一不可．楷2．方程的次和元楷方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元．楷3．方程的已知数和未知数楷已知数：一般是具体的数值，如50x中（x的系数是1，是已知数．但可以不说）．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a、b、c、m、n等表示．2未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z等字母表示．如：关于x、y的方程2axbyc中，a、2b、c是已知数，x、y是未知数．楷4．方程的解楷使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．楷5．解方程楷求得方程的解的过程．注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程．楷6．方程解的检验楷要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是．三、一元一次方程的定义1．一元一次方程的概念楷只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．一元一次方程的形式标准形式：0axb（其中0a，a，b是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．最简形式：方程axb（0a，a，b为已知数）叫一元一次方程的最简形式．注意：（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程22216xxx是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．（2）方程axb与方程(0)axba是不同的，方程axb的解需要分类讨论完成．四、一元一次方程的解法黑1．解一元一次方程的一般步骤楷（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边．注意：①移项要变号；②不要丢项．（4）合并同类项：把方程化成axb的形式．注意：字母和其指数不变．（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a（0a），得到方程的解bxa．注意：不要把分子、分母搞颠倒．楷2．解一元一次方程常用的方法技巧楷解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等．3二、典型例题一、等式的概念和性质【题01】判断题．（1）11123xy是代数式．（2）12Sah是等式．（3）等式两边都除以同一个数，等式仍然成立．（4）若xy，则44xmym．【题02】回答下列问题，并说明理由．（1）由2323ab能不能得到ab？（2）由56abb能不能得到56a？（3）由7xy能不能得到7yx？（4）由0x能不能得到11xxx？【题03】下列说法不正确的是（）A．等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式．B．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式．C．等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式．D．一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式．【题04】下列结论中正确的是（）A．在等式3635ab的两边都除以3，可得等式25ab．B．如果2x，那么2x．C．在等式50.1x的两边都除以0.1，可得等式0.5x．D．在等式753xx的两边都减去3x，可得等式6346xx．【题05】下列变形中，不正确的是（）A．若25xx，则5x．B．若77,x则1x．C．若10.2xx，则1012xx．D．若xyaa，则axay．【题06】根据等式的性质填空．（1）4ab，则ab；（2）359x，则39x；（3）683xy，则x；（4）122xy，则x．【题07】用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的．（1）如果23x，那么x；（2）如果6xy，那么6x；（3）如果324xy，那么2y；（4）如果324x，那么x．二、方程的相关概念黑体小四【题08】下列各式中，哪些是等式？哪些是代数式，哪些是方程？①34a；②28xy；③532；④1xy；⑤61xx；⑥83x；⑦230yy；⑧2223aa；⑨32aa．4【题09】判断题．（1）所有的方程一定是等式．（）（2）所有的等式一定是方程．（）（3）241xx是方程．（）（4）51x不是方程．（）（5）78xx不是等式，因为7x与8x不是相等关系．（）（6）55是等式，也是方程．（）（7）“某数的3倍与6的差”的含义是36x，它是一个代数式，而不是方程．（）【题10】下列各式不是方程的是（）A．24yyB．2mnC．222ppqqD．0x【题11】判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由．（1）373xx；（2）223y；（3）2351xx；（4）112；（5）42xx；（6）152xy．【题12】下列说法不正确的是（）A．解方程指的是求方程解的过程．B．解方程指的是方程变形的过程．C．解方程指的是求方程中未知数的值，使方程两边相等的过程．D．解方程指的是使方程中未知数变成已知数的过程．【题13】检验括号里的数是不是方程的解：3212yy（1y，32y）【题14】在1y、2y、3y中，是方程104yy的解．【题15】解为2x的方程是（）小四三、一元一次方程的定义黑体小四【题16】下列各式中：①3x；②2534；③44xx；④12x；⑤213xx；⑥44xx；⑦23x；⑧2(2)3xxxx．哪些是一元一次方程？【题17】下列方程是一元一次方程的是（）A．2237xxxB．3435322xxC．22(2)3yyyyD．3813xy【题18】2(38)570abxbxa是关于x的一元一次方程，且该方程有惟一解，则x（）A．2140B．2140C．5615D．5615【题19】已知4553aaxa是关于x的一元一次方程，求这个方程式的解．【题20】已知方程1(2)40aax是一元一次方程，则a；x．【题21】若关于x的方程1(2)50kkxk是一元一次方程，则k=．若关于x的方程2(2)450kxkxk是一元一次方程，则方程的解x=．5四、一元一次方程的解法黑体解方程：6(1)5(2)2(23)xxx【题22】解方程：3(3)52(25)xx楷体五号楷体五号【题23】方程0251x．的解是x．【题24】解方程：7110.2510.0240.0180.012xxx去分母，得．根据等式的性质（）去括号，得．移项，得．根据等式的性质（）合并同类项，得．系数化为1，得．根据等式的性质（）6三、课后练习1．下面的等式中，是一元一次方程的为（）A．3x＋2y＝0B．3＋m＝10C．2＋x1＝xD．a2＝162．下列结论中，正确的是（）A．由5÷x＝13，可得x＝13÷5B．由5x＝3x＋7，可得5x＋3x＝7C．由9x＝－4，可得x＝－49D．由5x＝8－2x，可得5x＋2x＝83．下列方程中，解为x＝2的方程是（）A．3x＝x＋3B．－x＋3＝0C．2x＝6D．5x－2＝84．解方程时，去分母得（）A．4（x＋1）＝x－3（5x－1）B．x＋1＝12x－(5x－1)C．3(x＋1）＝12x－4(5x－1)D．3(x＋1）＝x－4(5x－1)5．若31(y＋1)与3－2y互为相反数,则y等于()A．－2B．2C．78D．－786．关于y的方程3y＋5＝0与3y＋3k＝1的解完全相同,则k的值为()A．－2B．43C．2D．－347．父亲现年32岁,儿子现年5岁,x年前,父亲的年龄是儿子年龄的10倍,则x应满足的方程是()A．32－x＝5－xB．32－x＝10(5－x)C．32－x＝5×10D．32＋x＝5×108．小华在某月的月历中圈出几个数,算出这三个数的和是36,那么这个数阵的形式可能是()A．B．C．D．9．某商品的售价比原售价降低了15%,现售价是34元,那么原来的售价是()A．28元B．32元C．36元D．40元10．用72cm长的铁丝做一个长方形的教具,要使宽为15cm,那么长是()A．28.5cmB．42cmC．21cmD．33.5cm11．设某数为x，若它的3倍比这个数本身大2，则可列出方程___________.12．将方程3x－7＝－5x＋3变形为3x＋5x＝3＋7，这个变形过程叫做______.13．当y＝______时，代数式与41y＋5的值相等.14．若与31互为倒数，则x＝______.15.三个连续奇数的和是75，则这三个数分别是___________.16.一件商品的成本是200元，提高30%后标价，然后打九折销售，则这件商品的利润为______元.17.若x＝－3是关于x的方程3x－a＝2x＋5的解，则a的值为______.718.单项式－3ax＋1b4与9a2x－1b4是同类项，则x＝______.19.一只轮船在A、B两码头间航行，从A到B顺流需4小时，已知A、B间的路程是80千米，水流速度是2千米/时，则从B返回A用______小时.20.解方程：5x＋2＝7x－85（x＋8）－5＝6（2x－7）21.（3分）一个数的6